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四.正(负)定二次型 * 三. 惯性定理和规范形 四. 正定二次型 一. 二次型及其矩阵表示 二. 二次型的标准形 第五章 二次型 一. 二次型及其矩阵表示 1. 二次型、二次型的矩阵、二次型的秩 称为二次型。（1） 含有 个变量 的二次齐次多项式 定义1： （我们仅讨论实二次型） 实二次型： 为实数。 复二次型： 为复数。 例如： 都是二次型。 不是二次型。 只含有平方项的二次型 称为二次型的标准形（或法式）。 例如： 都为二次型； 为二次型的标准形。 取 则 则（1）式可以表示为 二次型用和号表示 令 则 其中 为对称矩阵。 二次型的矩阵表示 例如：二次型 在二次型的矩阵表示中， 任给一个二次型，就唯一确定一个对称矩阵； 反之，任给一个对称矩阵，也可唯一确定一个二次型． 这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系． 把对称矩阵 称为二次型 的矩阵 也把二次型 称为对称矩阵 的二次型 对称矩阵 的秩称为二次型 的秩 二次型 定义2： 解 例1 例2：求对称矩阵 所对应的二次型。 解： 2. 非退化线性变换（可逆线性变换） 系数 矩阵 线性变换，记作（2） 则线性变换（2）可记作： 是可逆矩阵， 则称线性变换（2）是非退化线性变换 是正交矩阵， 则称线性变换（2）是正交线性变换 对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换 使二次型只含平方项. 即二次型 经过可逆线性变换 这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准型 使得 化二次型为标准型的方法： 1.用配方法化二次型为标准型 2.用初等变换法（合同变换法）化二次型为标准型 3.用正交变换法化二次型为标准型 二.二次型的标准型 矩阵的合同 经过非退化线性变换 可化为 则 矩阵的合同： 所以，通过非退化线性变换， 新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的. 矩阵合同的性质： (1) 反身性 (2) 对称性 (3) 传递性 注释： 2. 在变换二次型时，要求所作的线性变换是非退化的（可逆的） “合同”定义中，矩阵A 、B为一般方阵，但实际中， 多针对对称矩阵考虑合同关系 任一对称矩阵，都存在对角矩阵与它合同. 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤 解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 例3 从而得特征值 2．求特征向量 3．将特征向量正交化 得正交向量组 4．将正交向量组单位化，得正交矩阵P 于是所求正交变换为 　　1.　若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形; 配方法化标准型的步骤 　　2.　若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方. 解 例4 含有平方项 去掉配方后多出来的项 所用变换矩阵为 解 例5 由于所给二次型中无平方项，所以 再配方，得 所用变换矩阵为 三.矩阵的规范型 ——二次型的规范形 为正定二次型 为负定二次型 例如