[研究生入学考试]第六章离散经济变量的无限求和.ppt

部分和 在[n-1,n]上应用Lagrange中值定理得 因此对任意n∈N，有 因此部分和有界，则原正项级数收敛。 用比较判别法，由 由比较判别法， 分析过程 分析 用比较判别法，显然与p级数 为确定p， 计算相应的极限： 若取p2，则极限为无穷大，但 无法判别； 若取p2，则极限为零， 即需要取p1。 通过以上分析，只要选择1p2，就可以用p级数判别。 总结 正项级数敛散性判别的一般思路： 首先判断通项是否趋于零：若不趋于零，则级数发散； 若趋于零，则利用比值、根式、积分判别法；若这三种方法 不能判别，则用比较判别法 (先考虑极限形式)；若上述方法 都不可行，则考虑计算级数的部分和。 这个寻求判别方法的顺序并非绝对，具体题目具体分 析。正项级数的敛散性判别法很多，没有一个是万能的，也 没有统一的规律，要灵活运用各种方法。粗糙地说，若un中 含有阶乘、连乘积时用比值判别法；若un为n次幂的形式用根 式判别法；若把un中的n换成x得到的函数容易积分，则用积 分判别法；若un为有理函数或与有理函数同阶时用比较判别 法。要熟练掌握这些方法，需要多加练习。 练习 讨论下面级数的敛散性： 上一节讨论的敛散性判别法只适用于正项级数。但应用 中常会遇到通项的符号任意(即可正可负)的级数，通常称为任 意项级数。 一、绝对收敛与条件收敛 关于任意项级数的敛散性判别，首先考虑的是将其化为判 别正项级数的敛散性问题，对此有下面的结果： 定理 注 此定理的逆命题不真，即 §6.4 任意项级数的敛散性判别法 定义 若级数 条件收敛。 对绝对收敛的级数，用正项级数的判别法可以判定。 例 证明级数 练习 证明级数 绝对收敛，若级 二、交错级数 对于不是绝对收敛的级数，可以根据定义，以其部分和 的极限的存在性判断级数的敛散性。这样太繁，但对一般的 任意项级数很难找到通用的敛散性判别法。 1713年， Leibniz对一种特殊的变号级数——交错级数进 行讨论，给出具体的敛散性判别法。 定义 当un0，n=1、2、…时，称级数 为交错级数或Leibniz级数。 对交错级数，若通项的绝对值对应的级数收敛，则原级 数绝对收敛，否则可用Leibniz判别法。 定理(Leibniz判别法) 则此交错级数收敛。 注 此定理中的条件为交错级数收敛的充分条件而非必要 条件，如交错级数 不满足定理的条件①，但它是收敛的(其部分和很容易可以求 出来)。 例 讨论级数 对一般的任意项级数(包括交错级数)，敛散性有三种可 能：绝对收敛、条件收敛或发散。具体考虑是这三种之中的 那一种时，可按以下顺序来考虑。 总结 当然，这只是一个供参考的大致顺序，若一眼能看出其 敛散性，可直接进行判定；或者前面的方法很难进行判定， 可考虑用后面的方法，不必严格按照这个顺序。但要说明条 件收敛时，必须说明原级数收敛，而对应的正项级数发散。 例 判断下列级数的敛散性，若收敛指出是绝对收敛还是 条件收敛： 练习 判断下列级数的敛散性，若收敛指出是绝对收敛还 是条件收敛： 注 一般来说，正项级数的敛散性判别法如比较判别 法、积分判别法等不能在任意项级数中直接使用。如对 有 这说明，正项级数的比较判别法对任意项级数不适用。 但也有例外： 定理 如果根据比值判别法，判定 例 一、幂级数的概念 微积分中常用变化的观点讨论问题，其主要研究目标是变 量之间的关系——函数。把函数引入到无穷级数中，讨论无穷 多个函数的和，即得到函数项级数。 定义 设un(x)在D上有定义，n=1,2, …,n, …，称 为D上的函数项级数。 由于在微积分中函数是由自变量对应的函数值确定的，对 函数项级数也通过自变量对应的值来讨论，为此需要讨论函数 项级数在哪些点收敛、哪些点发散。 §6.5 幂级数与函数的幂级数展开式 收敛点。否则称函数项级数在x0发散， 的所有收敛点组成的集合称为它的收敛域。 收敛， x