[理学]第一章 行列式.ppt

§1.6 克莱姆法则 答案 例16 计算n阶行列式 解 解 例17 证明范得蒙行列式（Vandermonde) 证 用数学归纳法 假设对n-1阶范得蒙行列式结论成立，以下考虑n阶情形. 下一行减去上一行的x1倍，得 例如： ？ 例18 已知4阶行列式 解 说明：如果直接Ai4(i=1,2,3,4)计算，然后相加，繁. 利用行列式的按列展开定理， 它是D中第2列元素与第4列元素的代数余子式的乘积之和，故有 1.计算行列式 课堂练习 求第一行各元素的代数余子式之和： 课堂练习 答案 答案 2.解 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成 答案 二、拉普拉斯（Laplace）定理 在n阶行列式 定理1.4 (拉普拉斯定理) 任意取定k行(1? k?n),由这k行元素组成的k阶子式M 1, M 2 ,…,M t 与它们的代数余子式 的乘积之和等于D，即 例6 计算行列式 解 一般地，由拉普拉斯定理不难证明下面的结论： (1) (2) 设线性方程组 则称此方程组为非 齐次线性方程组; 此时称方程组为齐次线性方程组. 非齐次与齐次线性方程组的概念： 定理1.5 如果线性方程组 的系数行列式不等于零，即 克莱姆法则 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即 那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解 可以表为 证明 在把 个方程依次相加，得 由行列式按一行（列）的展开定理可知, 于是 当 时,方程组 有唯一的一组解 由于方程组 与方程组 同解, 故 也是方程组的 解. 推论 如果线性方程组 无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零. 定理1.6　如果齐次线性方程组 的系数行列式 ，则齐次线性方程组 只有零解（不存在非零解）. 设 齐次线性方程组的一个解的判定定理 推论　 如果齐次线性方程组 有非零解,则它 的系数行列式必为零. 有非零解. 反之，系数行列式 （将在第三章介绍） 例1 用克莱姆法则解方程组 解 例2 问 取何值时，齐次方程组 有非零解？ 解 若齐次方程组有非零解，则 所以 或 时齐次方程组有非零解. 1. 用克莱姆法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零. 2. 克莱姆法则建立了线性方程组的解与系数及常数项之间的关系.它主要适用于理论推导. 注意： 课堂练习 例8 证明上三角行列式 由定义 证 在该和式中，只有当 上三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积 . 结论: 所以 例9 计算 解 由行列式定义,和式中仅当 由于数的乘法满足交换律，故而行列式各项中n个元素的顺序可以任意交换.一般，可以证明 定理1.2 n阶行列式 的通项可以写为 推论 其中 q1q2…qn 和 p1p2 …pn都是n级排列 . 对n阶行列式 ，有 或 行列式的等价定义 答案 1.用定义计算 课堂练习 考虑 称DT为D的转置行列式 . 将它的行依次变为相应的列，得 §1.4 n阶行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等.（D=DT） ，则 事实上，若记 证 解 例10 计算下三角行列式 性质2 互换行列式的两行(ri ?rs)或列(ci?cs)，行列式的值变号 . 证 设 设 是D中的任一乘积项，由于它也是D1的不同行、不同列的元素之乘积，因而也是D1中的乘积项.同理D1中的任一乘积项也是D中的乘积项. 即D与D1中的乘积项是完全相同的. 上述乘积项在D和D1中所带的符号分别是： 和 它们相差一个负号，所以D＝－D1 . 性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数 k，等于数k乘以此行列式，即 推论 (1) D中一行(列)所有元素的公因子可提到D的外面； (2) D中一行(列)所有元素为零，则D=0； (3) D的两行（列）对应元素成比例，则D=0. 推论 若行列式D的两行（列）完全相同，则D=0 . 性质4 若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和. 这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即 证 由行列式定义 得证 性质5