概率论与数理统计 第13课.pptVIP

复习 §4.2 随机变量的方差与标准差 一、方差的定义 例1 甲、乙两人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等. 计算方差的一个简化公式 三、方差的性质 例6 设随机变量的期望和方差都存在， 测量时,常以多次重复测量所得值的平均值作为该指标的真值 例11 设 X1, X2, X3 相互独立， * * 我们介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征. · 保线性运算 性质: · 独立性与积 · 保序性 · 绝对值性质 · 柯西—许瓦兹不等式 [E(XY )]2 ? EX 2 EY 2 上节的例1 两个射击运动员射击成绩 两个人的平均环数 你认为两人的成绩一样吗? 为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度. 这个数字特征就是我们要介绍的 我们已经介绍了随机变量的数学期望,它体现的是随机变量取值的平均水平,是随机变量的一个重要数字特征. 但很多场合，仅仅知道平均值是不够的. 525 200 50 100 125 400 200 300 100 0 甲 乙 10 9 8 7 6 环数 则称其为 X 的方差, 采用平方是为了保证一切 差值X -E(X)都起正面的作用 方差的算术平方根 称为标准差. 定义 设X 是一个随机变量， 即 DX = E[X-EX]2 记为 DX , 它与 X 具有相同的量纲在实际问题中经常使用 方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度 . 若X 的取值比较集中,则方差较小； 反之,则方差较大 . 由定义知,方差是随机变量X 的函数g(X)=[X-EX]2 的数学期望. 甲乙两人的平均成绩都是 8. 9 , 若E(X-EX )2 存在， 设两人的次品率分别为 X 和Y , 若 X 与 Y 的分布律分别为 X pk 0 1 2 6/10 1/10 3/10 Y pk 0 1 2 5/10 3/10 2/10 试对甲乙两人的技术水平进行比较. 解 ∵ EX=EY,DXDY, ∴ 两人技术水平相当,但乙的技术比甲稳定. DX = EX 2 -(EX )2 展开 DX = E(X-EX )2 = E[X 2 - 2X EX +(EX )2 ] = EX 2 -2(EX )2 + (EX )2 = EX 2 -(EX )2 利用期望性质 例1中的方差 例2 求两点分布的方差 解 p 1-p pk 1 0 X 分布律为 例3 求泊松分布的方差 解 分布律为 = ? . ∴ DX = 例4 求均匀分布的方差 解 例5 求指数分布的方差 解 = E(X- EX)2 + 2E[(X- EX)(Y- EY)]+ E(Y- EY )2 (X- EX)(Y- EY) 独立 = E(X- EX )E(Y- EY) = (EX- EX )(EY- EY) = E[(X- EX )+(Y- EY )]2 (1) 则 D(C )= 0 ; D(X+Y )= E[(X +Y )-E(X+Y )]2 不独立时 D(X +Y )=？ 常值的方差为 0 DC = E[C-EC]2 = C 2[E(X 2)-(EX )2 ] D(CX )=E(C 2X 2)-[E(CX )]2 = E[(X- EX )2 + 2(X- EX )(Y- EY ) + (Y- EY )2 ] = 0 = C 2 DX . 若C 是常数, = E(C-C )2 = 0 ; 若C 是常数, D(CX ) (2) 则 = C 2 DX ; E[ ] = DX + DY . (4) DX ? 0 ; 且 DX = 0 ? ?常数 C , 使得