概率论与数理统计 第12课.pptVIP

第四章  —— 随机变量的数字特征 但在实际问题中，概率分布一般是较难确定的. §4.1 随机变量的数学期望 定义1 设离散型随机变量X 的分布律是 P(X=xk)=pk , i=1,2,… 二、连续型随机变量的数学期望 例5 设随机变量 X 密度为 三、随机变量函数的数学期望 例8 设随机变量X 的分布列为 四、数学期望的性质 已学过的重要分布的数学期望： 五、期望及其性质的应用 例12 某种商品每周的需求量 X～U[10,30], 例13 期望与风险并存 小结 作业 P111 2 5 * * 如果知道了 随机变量X 的概率分布， 那么X 的全部概率特征 也就知道了. x p(x) o f (x) x o 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布， 而且在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了. 和抽象自与平均值的偏差程度的方差. 平均寿命越长,灯泡的质量就越好, 主要应看这批灯泡的平均寿命和灯泡寿命相对于平均寿命的偏差, 因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的 . 在这些数字特征中，最常用的是抽象自平均值的期望 评定一批灯泡的质量, 灯泡寿命相对于平均寿命的偏差越小,灯泡的质量就越稳定 抽象出 一、离散型随机变量的数学期望 1、概念的引入： 例1 两个射击运动员射击成绩如下 则甲的平均成绩 525 200 50 100 125 400 200 300 100 0 甲 乙 10 9 8 7 6 环数 平均值 === 以频率为权的加权平均 改以频率为权 的加权平均 频率和 概率的关系 以概率为权 的加权平均 数学期望 试验次数很大时, 频率会接近于概率pk 离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛级数的和 则称 为 X 的数学期望(期望) 记为 . 设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的, 或均值, 例2 从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗, 试求途中遇到红灯次数的数学期望. 解 设 X 为遇到的红灯数, 则 X 的分布列为 0 1 2 3 X pk 7/125 54/125 36/125 8/125 其概率为2/5, 它是随机变量所有取值的以概率为权的加权平均 如果 绝对收敛, 例3 求两点分布的数学期望 解 p 1-p pk 1 0 X 分布律为 例4 求泊松分布的数学期望 解 分布律为 在数轴上任取很密的分点 x1 x2 x3 …, 则 X 落在小区间[xk , xk+?xk)内的概率是 设X 是连续型随机变量,其密度为 f (x), 由于 xk 与 xk+?xk 很接近, 所以区间 [xk , xk+?xk )中的值可以用 xk 来近似代替. 因此 X ≈ 取值 xk、概率为 的离散型随机变量, 它的数学期望是 的积