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[数学]第7章20常微分方程数值解法
第七章 常微分方程数值解法 目录 7.1 数值方法与基本概念 7.2 Runge—Kutta方法 7.3 单步法的收敛性与稳定性 7.4 线性多步法 7.5 解常微分方程边值问题的数值解法 7.6 数值实验及程序 东北林业大学理学院 2 7.1 数值方法与基本概念 基本问题：在自然科学的许多领域中，涉及到的常微分 方程，多数情况下只能用近似方法求解；数值方法就是给 出解在一些离散点上的近似值；利用计算机解微分方程主 要使用数值方法。本章主要介绍常微分方程初值问题的数 值解法、理论和算法。 常微分方程初值问题的一般提法：求函数y (x ) ， a x b ，满足 y f x ,y ，x [a ,b ], | y |， （*） y (x ) y ， 0 0 这是本章主要讨论的一阶常微分方程。 东北林业大学理学院 3 解存在的唯一性定理 定理1 如果函数f (x ,y )在区域G :a x b , |y |上连续， 且关于y 满足Lipschitz条件,即存在Lipschitz常数L , 使得 对所有x [a ,b ]及任意的y , y 不等式 1 2 | f (x ,y 1 ) f (x ,y 2 ) |L |y 1 y 2 | 均成立，则初值问题 (*)式在[a,b]上有唯一解y (x). 定义：数值方法的实质是常微分方程的解y (x )被它在一系列 离散节点 x x x x 上的值 y , y , y , y , 0 1 n n1 0 1 n n1 近似代替。数值方法都采用“步进式”，若计算y n1时只用 到前一点的值y ，称为 单步法；若用到y 前面的k点值y , n n1 n y n1, y nk 1,称为 k步法。 东北林业大学理学院 4 欧拉法 公式推导：在x 处的导数y (x )可近似表示成差商 n n y n1 y n y (xn ) x x n1 n 由(*)式可得： y n1 y n f x n ,y n x x n1 n 即 y y hf x ,y (h x x ),称为 欧拉公式。 n1 n n n n1 n
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