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导数专项突破（一） 2011-3-21 宋焱 一 讨论判别式 1．已知函数，． （Ⅰ）讨论函数的单调区间； （Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围． 1. 解：（1）求导： 当时，，，在上递增 当，求得两根为 即在递增，递减， 递增 （2），且解得： 2.（2009安徽卷理） 已知函数，讨论的单调性. 解：的定义域是(0,+), 设,二次方程的判别式. 当，即时，对一切都有,此时在上是增函数。 当,即时，仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。 当，即时， 方程有两个不同的实根,,. + 0 _ 0 + 单调递增 极大 单调递减 极小 单调递增 此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增. 二 讨论两根大小或根是否在定义域内 3. 已知函数其中 当时，求曲线处的切线的斜率； 当时，求函数的单调区间与极值。 2009天津卷理）（I）解： （II） 以下分两种情况讨论。 （1）＞，则＜.当变化时，的变化情况如下表： + 0 — 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ （2）＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表： + 0 — 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 4.设函数 （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围. （2009北京理）（Ⅰ）, 曲线在点处的切线方程为. （Ⅱ）由，得， 若，则当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 若，则当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， （Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当， 即时，函数内单调递增， 若，则当且仅当， 即时，函数内单调递增， 综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是. 导数专项突破（二） 三 恒成立 5.已知函数，其中 若在x=1处取得极值，求a的值； 求的单调区间； （Ⅲ）若的最小值为1，求a的取值范围。 (2009陕西卷理)（本小题满分12分） 解（Ⅰ） ∵在x=1处取得极值，∴解得 （Ⅱ） ∵ ∴ ①当时，在区间∴的单调增区间为 ②当时， 由 ∴ （Ⅲ）当时，由（Ⅱ）①知， 当时，由（Ⅱ）②知，在处取得最小值 综上可知，若得最小值为1，则a的取值范围是 6 已知函数，其中． （Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式； （Ⅱ）讨论函数的单调性； （Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围． 08天津20．（Ⅰ）解：，由导数的几何意义得，于是． 由切点在直线上可得，解得． 所以函数的解析式为． （Ⅱ）解：． 当时，显然，这时在，内是增函数． 当时，令，解得． 当变化时，，的变化情况如下表： ↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗ 所以在，内是增函数，在，内是减函数． （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，在上的最大值为与中的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当 即 对任意的成立． 从而得，所以满足条件的的取值范围是． 四 判断根的个数 7. 设函数．，恒成立，求的最大值； （2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围．解：, 因为,, 即 恒成立, 所以 , 得，即的最大值为 (2) 因为 当时, ;当时, ;当时, ; 所以 当时,取极大值 ; 当时,取极小值 ; 故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或. 五 构造函数 8 设函数 （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）已知对任意成立，求实数的取值范围。 08安徽20 解 (1) 若 则 列表如下 + 0 - - 单调增 极大值 单调减 单调减 (2) 在 两边取对数, 得 ,由于所以 (1) 由(1)的结果可知,当时, , 为使(1)式对所有成立,当且仅当,即 9. 已知函数. （Ⅰ）若，求的取值范围； （Ⅱ）证明：解： （Ⅰ）， , 题设等价于. 令，则 当，；当时，，是的最大值点， 综上，的取值范围是. (Ⅱ)有（Ⅰ）知，即. 当时，； 当时， 所以