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Ⅵ. 数值计算（4课时） 教学目的：数值计算是Matlab的最基本，也是最重要的功能。本节重点介绍Matlab的各种数值计算，例如矩阵的三角阵矩阵结构变换矩阵的逆与伪逆方阵的行列式矩阵元素个数的确定矩阵分解线性方程组的求解数据统计与分析数值插值曲线拟合多项式计算函数的最大值与最小值数值微分数值积分常微分方程的数值求解稀疏矩阵矩阵分解线性方程组的求解数据统计与分析数值插值曲线拟合多项式计算函数的最大值与最小值数值微分数值积分常微分方程的数值求解稀疏矩阵曲线拟合多项式计算稀疏矩阵矩阵的三角阵 设A为m×n矩阵，diag(A)函数用于提取矩阵A主对角线元素产生一个具有min(m,n)个元素的列向量。 diag(A)函数还有更进一步的形式diag(A,k)，其功能是提取第k条对角线的元素。 设V为具有m个元素的向量，diag(V)将产生一个m×m对角矩阵，其主对角线元素即为向量V的元素。 diag(V)函数也有更进一步的形式diag(V,k)，其功能是产生一个n×n(n=m+)对角阵，其第k条对角线的元素即为向量V的元素。 例 先建立5×5矩阵A，然后将A的第1行元素乘以1，第2行乘以2，…，第5行乘以5。 命令如下： A=[17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;11,18,25,2,19]; D=diag([1,2,3,4,5]); D*A (1)下三角矩阵 求矩阵A的下三角阵的MATLAB函数是tril(A)。 tril(A)函数也有更进一步的一种形式tril(A,k)，其功能是求矩阵A的第k条对角线以下的元素。 tril(A) tril(A, 1) (2)上三角矩阵 在MATLAB中，提取矩阵A的上三角矩阵的函数是triu(A)和triu(A,k)，其用法与提取下三角矩阵的函数tril(A)和tril(A,k)完全相同。 triu(A) triu(A, 1) 矩阵结构变换 1. 矩阵的转置运算符是单撇号()。 2. 矩阵的旋转利用函数rot90(A,k)，功能是将矩阵A旋转90o的k倍，当k为1时可省略。 3. 矩阵的左右翻转的函数是fliplr(A)。 4. 矩阵的上下翻转的函数是flipud(A)。 矩阵的逆与伪逆 Y=inv(X) %求方阵X的逆矩阵。若X为奇异阵或近似奇异阵，将给出警告信息。 例 求的逆矩阵 方法一: A=[1 2 3; 2 2 1; 3 4 3]; Y=inv(A) Y=A^(-1) 方法二：由增广矩阵进行初等行变换 B=[1, 2, 3, 1, 0, 0; 2, 2, 1, 0, 1, 0; 3, 4, 3, 0, 0, 1]； C=rref(B) %化行最简形 X=C(:, 4:6) %取矩阵C中的A^(-1)部分 例 A=[2 1 -1;2 1 2;1 -1 1];B=ones(3); C=diag(1:3); format rat %用有理格式输出 D=inv(A), E=inv(B), F=inv(C) B = pinv() %求矩阵A的伪逆 B = pinv(A, tol) %tol为误差：max(size(A))*norm(A)*eps norm(A) %求矩阵或向量A的范数，即求矩阵或向量的最大奇异值，=max(svd(A))。 norm(A,1) %求矩阵或向量A 的1范数，即求列元素和最大的，=max(sum(abs(A))) norm(A,inf) %求矩阵或向量A 的无穷范数，即行元素和最大的，= max(sum(abs(A))) 说明 当矩阵为长方阵时，方程AX=I和XA=I至少有一个无解，这时A的伪逆能在某种程度上代表矩阵的逆，若A为非奇异矩阵，则pinv(A) = inv(A)。 A=magic(5); %产生5阶魔方阵。 A=A(:,1:4) %取5阶魔方阵的前4列元素构成矩阵A。 X=pinv(A) %计算A的伪逆 例 用求逆矩阵的方法解线性方程组。 A=[1,2,3;1,4,9;1,8,27]; b=[5,–2,6]; x=inv(A)*b 一般情况下，用左除比求矩阵的逆的方法更有效，即x=A\b。 方阵的行列式 求方阵A所对应的行列式的值的函数是det(A)。 例5.7用克莱姆(Cramer)方法求解线性方程组。 D=[2,2,-1,1;4,3,-1,2;8,5,-3,4;3,3,-2,2]; %定义系数矩阵 b=[4;6