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全国大学生数学竞赛 赛区（预赛） 试题讲解 XX 安徽工业大学 数理科学与工程学院 2014年9月8日 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷 （非数学类）2011年10月29日9:00—11:30 一、（30分，每小题6分） 1. 求极限 2. 设 ，求 其中 3. 求 4. 求幂级数 的和函数，并求级数 的和 二、记 为数列， 为有限数，求证： 则 (2) 如果存在正整数 使得 则 (1) 如果 三、设函数 在闭区间 上具有连续的三阶导数， 求证：在开区间 内至少存在一点 ，使得 且 四、在平面上有一条从点 向右的射线，其线密度为 在点 处(其中 )有一质量为 求射线对该质点的引力. 的质点， 五、设 是由方程 所确定的隐函数，且具有连续的二阶导数，求证： 和 六、设函数 连续， 是单位球面 记第一型曲面积分 求证： 第三届全国大学生数学竞赛决赛试卷 （非数学类）2012年3月17日9:00—12:00 一、计算题 1. 求极限 2. 求极限 3. 设函数 有二阶连续偏导数，且 满足 是由方程 所确定的函数，求 4. 求不定积分 5. 求曲面 和 所围立体的表面积. 二、讨论 的敛散性，其中 是一个实常数. 三、设 在 上无穷次可微，并且满足： 使得 且 求证：在 上 存在 四、设D为椭圆形 面密度为 的均质 为通过椭圆焦点 (其中 ) 垂直于 (2) 对于固定的转动惯量，讨论椭圆薄板的面积是否有 最值. 薄板. 薄板的旋转轴. 旋转的转动惯量. (1) 求薄板绕 五、设连续可微函数 由方程 （其中 有连续偏导数） 为正向单位圆周，试求： 唯一确定， 六、(1) . 求解微分方程 (2). 如 为上述方程的解，证明： 竞赛吧