导数综合练习答案.docxVIP

导数综合练习1．【改编】（本小题满分14分）已知函数已知函数（，）．（1）当时，求函数在区间上的最值；（2）若在区间上单调递增，试求的取值范围．【答案】（1）极大值为1，极小值为；（2）．【解析】试题分析：（1）当时，∴ 1分令得：， 2分当变化时，，的变化情况如下表++单调递增极大值单调递减极小值单调递增函数在区间上的极大值是，极小值是 5分，函数在区间上的最大值是，最小值是 6分（2）若在区间上是单调递增函数，则在区间内恒大于或等于零 7分若，这不可能 8分若，则符合条件 10分若，则由二次函数的性质知，即，这也不可能 13分所以的取值范围是 14分考点：1、利用导数研究函数的最值；2、利用导数研究函数的单调性；3、二次函数的性质；4、不等式恒成立．2．【原创】（本小题满分14分）设函数．（Ⅰ）设，当时，求的极值；（Ⅱ）若在上单调递增，求的取值范围；（Ⅲ）当时，求的单调区间．【答案】（Ⅰ），没有极大值；（Ⅱ）；（Ⅲ）当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数的单调递减区间为；当时，函数的单调递减区间为单调递增区间为．【解析】试题分析：（Ⅰ）求可导函数的极值求函数解析式的步骤一、求导数；二、求方程的根；三、检查与方程的根左右值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么在这个根处取得极小值，（Ⅱ）若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到（3）函数的单调性与导数之间的关系且不恒为0时单调递增，且不恒为0时单调递减，如果有字母系数，要注意分类讨论试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为 1分当时，，∴ 2分由得随变化如下表：—0+减函数极小值增函数故，，没有极大值． 4分（Ⅱ）由题意，，在上单调递增，在上恒成立，设在上恒成立， 5分当时，恒成立，符合题意． 6分当时，在上单调递增，的最小值为，得，所以， 8分当时，在上单调递减，不合题意，所以（也可以用分离变量的方法）10分（Ⅲ）由题意，，令得，10分若，由得；由得 11分若，①当时，，或时，；时，；②当时，；③当时，或，;， 13分综上，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数的单调递减区间为；当时，函数的单调递减区间为单调递增区间为． 14分考点：函数的极值，单调性与导数及分类讨论思想．3．（本小题满分16分）设，函数．（1）若为奇函数，求的值；（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围；（3）当时，求函数零点的个数．【答案】（1）0；（2）或；（3）详见解析；【解析】试题分析：（1）奇函数条件的转化可以使用奇函数的定义，用方程恒成立求参数的值；也可以使用特殊值求出参数的值再检验；（2）不等式恒成立问题一般可以转化成函数的最值问题，本题不等式中含有绝对值，一般去绝对值，分类讨论求最值；本题也可以运用参数分离而后再求最值；（3）复合函数的零点问题可以通过换元分解为两个函数研究，先研究外函数的零点，再研究内函数相应的方程的根的情况，研究的过程中应注意数形结合；试题解析：（1）若为奇函数，则，令得，，即，所以，此时为奇函数．（2）因为对任意的，恒成立，所以．当时，对任意的，恒成立，所以；当时，易得在上是单调增函数，在上是单调减函数，在上是单调增函数，当时，，解得，所以；当时，，解得，所以a不存在；当时，，解得，所以；综上得，或．（3）设，令，则，，第一步，令，所以，当时，，判别式，解得，；当时，由得，即，解得；第二步，易得，且，①若，其中，当时，，记，因为对称轴，，且，所以方程有2个不同的实根；当时，，记，因为对称轴，，且，所以方程有1个实根，从而方程有3个不同的实根；②若，其中，由①知，方程有3个不同的实根；③若，当时，，记，因为对称轴，，且，所以方程有1个实根；当时，，记，因为对称轴，，且，，记，则，故为上增函数，且，，所以有唯一解，不妨记为，且，若，即，方程有0个实根；若，即，方程有1个实根；若，即，方程有2个实根，所以，当时，方程有1个实根；当时，方程有2个实根；当时，方程有3个实根．综上，当时，函数的零点个数为7；当时，函数的零点个数为8；当时，函数的零点个数为9．考点：1.函数的奇偶性；2.分类讨论的数学思想；3.函