2014-2015高数(上)复习参考题.doc

2014-2015高数（上）复习参考题2014.12.16 第一章 习题1-1 1．求下列函数的自然定义域： (1) ； 解：(1)解不等式组得函数定义域为; 2．已知函数定义域为，求的定义域． 解：因为定义域为，所以当时，得函数的定义域为； 当时，得函数定义域为； 当时，得函数定义域为：（1）若，；（2）若，；（3）若， 13. 习题1-3 1.(16) = ==． 2．设函数,试讨论是否存在？ 解：因为，即，所以存在． 3．设　若极限存在，则等于什么? 解：因为，所以，当，即时，存在． 4．已知，其中为常数，求和的值． 解：因为 ，所以，则． 习题1-4 1．计算下列极限： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 解：(1) ； (2) ； (3) ； (4) 2．计算下列极限 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； 解：(2) ； (3) ； (4) 习题1-5 8．当时，若与是等价无穷小，试求． 解：依题意有， 因为当时， ，， 所以，故． 习题1-6 3．当取何值时，函数在处连续． 解：因为所以，依题意有=0. 4．设 其中是已知常数．试选择，使为连续函数． 解：因为所以，若则为连续函数必要求此时可取任意实数；若则取，就可以使得为连续函数． 习题1-7 3．证明：已知，求常数的值． 解：因为，则，所以． 复习题A 二、填空 5. 已知为常数，，则_________，_________. 答： ， 解： 复习题B 3．当时，下列变量为无穷小的是（　 ） A. ； B. ； C. ； D. 答：C 第二章 复习题A 一.选择题 1.设，则在点可导的充要条件为( ) (A) 存在. (B) 存在. (C)存在. (D) 存在 1.解法二：直接考虑( B ) 因此 应选取( B )． 参考答案 1. 解法一：　当时，关于( A )： 　　　　 由此可知 若在点可导成立，反之若(A)成立成立，不能成立，如满足(A)但不存在． 关于(D)：若在点可导 成立，反之(D)成立，不能在连续，因而不能在处可导，如满足(D)，但不存在． 再看( C )：（解法不好） (当它们都时) 注意：易求得因此，若成立．反之若( C )成立不能(即)，因为只要有界，仍有( C )成立．如满足(C)但不存在． 可以简单考虑： 因此只能选( B )． 一 6.在处存在左、右导数，则在点( ) 可导 ( B ) 连续. ( C ) 不可导. ( D ) 不连续. （6）解：选（B） 7.设,则（此题有错） (A)在处必可导且 (B) 在处必连续,但未必可导. (C) 在处必E有极限但未必连续. (D) 以上结论都不对. 参考答案： 选择题 1、(B)； 2、(C)；3、(C)；4 (B)；5 (C)；6 (D)； 7 (C); 8、(B) 9、（D）;10 、（C）;11、(D) ；12、(C); 13、（C）；14、（D）；15、（B）; 第三章 习 题 3.1 1．验证拉格朗日中值定理对函数在区间上的正确性。 解：函数在区间上连续，在区间内可导，故在上满足拉格朗日中值定理的条件。又，解方程得。因此，拉格朗日中值定理对函数在区间上是正确的。 2．不求函数的导数，说明方程有几个实根，并指出它们所在的区间。 解：函数可导， 且。由罗尔定理知，至少存在 使即方程有至少三个实根。又因方程为三次方程，故它至多有三个实根。因此，方程有且只有三个实根，分别位于区间内。 4．设 求证不等式： 证明：取函数在[a,b]上连续，在（a, b）内可导， 由拉格朗日中值定理知，至少存在一点，使， 即， 故 习 题 3.3 1．用洛必达法则求下列极限 （1） 解： （2） 解： （3） 解： （4） 解： （5） 解： （6） 解： （7） 解： （8） 解：因为，而. 所以 （9） 解：因为，而, 所以， 8. 求函数在区间上的最大值和最小值，并指明最大值与最小值点。 解： 9．某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆。截面的面积为问底宽为多少时， 才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？ 解：设界面周长为，已知及即 故 令，得驻点由知为极小值点。 又因为驻点唯一，故极小值点就是最小值点。所以，当截面的底宽为时，才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省。 习 题 3.8 1. 设函数，试求在时的边际函数值． 解： 因为，所以 该值表明：当时，改变一个单位(增加或减少一个单位)，约改变10个单位(