894-带度量的向量空间.pptVIP

* * 在解析几何中，对平面上的有向线段 与 可 做点乘运算 其中， 表示有向线段 与 的夹角， 和 分别有向线段 与 的长度。利用点乘可得 取定平面直角坐标系 后，设 则易得 在几何中， 与 均有直观的几何意义。 但对一般的n元实向量 则无法直接讨论它们的长度与夹角。我们仿照点乘的 坐标运算法，把 当作向量 与 的“点乘”，就可反向引入向量的 长度与夹角的概念。 一、向量的内积 定义 设 V 是实向量空间。任取 ，设 则 与 的内积 规定为 设 ，则 性质 设 V 是实向量空间。对任意 及 ，均有 （1） （2） （3） （4） ，等号成立当且仅当 定义 定义了内积运算的实向量空间称为Euclid空 间，简称为欧氏空间。 二、向量的度量 定义 设V 是欧氏空间，任取 ，则 ? 的长度 规定为 定理 设 V是欧氏空间，则对任意 均有 上式称为Cauchy-Schwarz不等式。 注 (1) (2) 为单位向量 (3) 是单位向量（称上述过程 为对 单位化） (4) 证明 (1) ，结论成立； (2) ，对任意实数 x，均有 即 因 的系数大于零，故 即 于是 定义 设 V 是欧氏空间， ，且 均不 是零向量，则 与 的夹角 规定为 这里 。 ▌ 定义 若 ，则称向量 与向量 正交， 记为 。 例 设 ，则对任意 与任意 ，均有 。 定理 设 V 是欧氏空间， 与 是 V 中任意两个 向量，则有 （1）三角不等式： （2）勾股定理：若 ，则 三、标准正交基 定义 设 V 是欧氏空间， 是 V 中 m个 非零向量。若 两两正交，则称 是正交向量组。由单位向量构成的正交向量组 称为标准正交向量组。 例 在欧氏空间 中，自然基是标准正交向量组。 例 在欧氏空间 中，一个单位向量本身也是标 准正交向量组。 定理 设 是欧氏空间 V 的一个正交向 量组，则 线性无关。 证明 设 是正交向量组，令 两边同时与 做内积，得 因 两两正交，故 于是 又 ，故 ，由此得 。 同理可证 。所以 线性无关。 ▌ 把两个线性无关的向量化 为两个正交的向量： 设?1, ?2 线性无关，令 则 因要求 ，故 又