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第二章 解析函数 * * 2.1复变函数的概念 2.2解析函数的充要条件 2.3初等解析函数 2.1复变函数的导数与微分 导数的定义2.1.1 设函数w=f (z)定义在区域D上，z0为D中一点，如果极限 存在，那么就说f (z)在z0处可导。这个极限值称为f (z)在z0处的导数，记作 定义： 如果f(z) 在区域D内处处可导，则称f(z) 在D内可导。 例： 可导与连续 f(z)=x+2yi 在整个复平面上处处连续，却处处不可导。 连续 可导 求导法则 解析函数的概念 定义：如果函数 f(z) 在z0及其z0 的邻域内处处可导，那么 称 f(z) 在z0解析。 如果 f(z) 在区域 D 内每一点处解析，那么称 f(z) 在D内解析。 如果 f(z) 在z0处不解析，那么称z0为f(z)的奇点。 由上述定义可知： 函数在区域内解析与在区域内可导是等价的。 函数在一点处解析与在一点处可导是两个不等价的。 函数在一点处可导未必在该点处解析。 例：研究函数 的解析性。 解：因为w在复平面内除 z=0外处处可导，且 所以在除原点外的复平面内，该函数处处解析，而原点是它的奇点。 定理 （1）在区域 D 内解析的两个函数f(z)与g(z)的和、差、 积、商（除去分母为零的点）在D内解析。 从此定理可以知道， 所有z的多项式在复平面内是处处解析的； 任何一个有理分式函数 在不含分母为零的点的区域内 是解析函数，使分母为零的点是它的奇点。 2.2解析函数的充要条件 复变函数 f(z) = u(x,y) + iv(x,y) 在区域D内解析的充要条件是二元函数u(x,y), v(x,y)在D内任意一点Z=x+iy可微且在该点满足柯西-黎曼方程（C-R方程）。 可微 复变类的一元函数 可导 连续 有限存在 有定义 例 如果 在区域D内处处为零，那么 f (z) 在D内恒为常数。 证明： 故f (z) 在D内恒为常数。 2.3初等解析函数 1.指数函数 定义2.3.1对任意的复数z=x+yi，规定函数 为z的指数函数，记做