2第二章 线性空间.pptVIP

头6阶（n 从0到5）勒让德多项式的曲线 § 2 线性空间 附件1 勒让德函数与勒让德多项式 在物理学中的应用 在求解三维空间中的球对称问题，譬如计算点电荷在空间中激发的电势时，常常要用到勒让德多项式作如下形式的级数展开： ???????????????????????????????????????????????????????? 其中r和r分别为位置矢量x?和 x’ 的长度，γ为两矢量的夹角。当r r时上式成立。该式计算了在x’?处的点电荷激发的电场在x点引起的电势大小。在对空间中连续分布的电荷引起的电势大小进行计算时，将涉及对上式进行积分。这时，上式右边的勒让德多项式展开将对此积分的计算带来很大的方便。 § 2 线性空间 附件1 勒让德函数与勒让德多项式 如果L是线性算子，算子可以是微分算子，也可以是积分算子，往往还包含边界条件。g为已知函数，f为未知函数。则上式是线性非齐次方程。矩量法实质给出了求解线性方程的普遍方法。 从数值分析的角度看，求解上式的任务就是要找到近似解，使其尽可能接近待求函数。矩量法的思想为在该算子的 Hilbert空间中找一组线性无关的基函数。 如令f 在L的定义域中被展开为 的组合，如 § 2 线性空间 应用举例 矩量法 工程应用中，许多问题可归纳为在Hilbert空间中求解算子方程： § 2 线性空间 应用举例 矩量法 式中 是系数， 被称为展开系数或基函数。让这些元素张成在Hilbert空间中的一个子空间M。上式通常是无穷项之和，而 形成一个基函数的完备集。对于近似解，上式变为有限项之和。将上式代入非齐次方程，再应用算子L的线性便可得： 再在Hilbert空间中找一组线性无关的权函数，在L的值域内 定义一个权函数 的集合, 这些元素 张成另一子空间 W。 § 2 线性空间 应用举例 矩量法 对每个 取式 的内积，则 重要的任务就是如何找到合适的展开系数使近似度最好。 此方程组可写为如下的矩阵形式 即 § 2 线性空间 应用举例 矩量法 式中矩阵lmn 为NXN矩阵，在电磁分析问题中称为阻抗矩阵， 矩阵元素为 ；展开系数矩阵 为列向量，其中 。只要对A求逆，便可得系数矩阵，即当矩阵 lmn是非奇异性的，其逆矩阵存在，则 此解是精确还是近似，取决于基函数和权函数的选取，当取两者 相等这种特殊情况，通常称为伽略金法。 将系数矩阵代入即可求出，f 为 § 2 线性空间 应用举例 矩量法 以上是矩量法的数学基础，影响其求解精确度的核心因素是两个子空间的选取，即基函数空间M与权函数空间W。从泛函分析的角度，W、M越逼近算子所在的Hilbert空间，矩量法即使的结果就越精确，但一般来说算子所在的Hilbert空间都是无穷维的，要提高逼近程度，必须增加M、W中线性无关元素的个数，这必然加大计算计的存储量与计算量，具体应用时必须在这对矛盾中找到一个中介点，将两个子空间取成一样的Galerkin法正是这样一种方法。 例： 在自伴算子例子中如已知特定的源 g (x)＝1＋4x2, 则在区间 方程为 显然，这时一个简单的边值问题，其精确解为 为了说明计算步骤，用矩量法重新讨论这个问题。 为了求得，幂级数解，我们选择 § 2 线性空间 应用举例 矩量法 则级数式为 注意在幂级数的选取中必须存在单独的x项，否则fn将不在L的定义域中，即不满足边界条件。对于检验函数，选择 在这种情况下就是伽略金法。可以证明权函数应该在伴随算子的定义域内。可以计算出 § 2 线性空间 应用举例 矩量法 对于任何固定N(展开函数的数目)， 由式 给出，并且由式 逼近f。 § 2 线性空间 应用举例 矩量法 为了说明收敛性，我们来研究当N增加时的逐渐近似程度。当 N=1时，l11＝1/3，g1＝11/30,由 得 当N=2时，矩阵形式 变为 由上式求得各 如下： 当N=3时，矩阵方程变为