21-6重积分的应用.pptVIP

一 问题的提出 二 曲面的面积 三 质心 四 转动惯量(Moment of inertia) 五 引力(Gravitation) 六 小结 * * 第六节 重积分的应用 一 问题的提出 二 曲面的面积 三 质心 四 转动惯量 五 引力 六 小结 由定积分的元素法推广得到重积分的元素法. 若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域 时，相应地部分量可近似地表示为 的形式，其中 在 内．这个 称为所求量U的元素，记为 ，所求量的积分表达式为 二重积分的元素法. 三重积分的元素法. 若要计算的某个量U对于空间闭区域V具有可加性，并且在闭区域V内任取一个直径很小的闭区域 dV时，相应地部分量可近似地表示为 的形式，其中 在 内．这个 称为所求量U的元素，记为 ，所求量的积分表达式为 利用重积分的元素法可以讨论重积分在 几何、物理上的一些应用 １ 设曲面S的方程为： 下面通过微元素法来计算曲面S的面积。 如图，先在闭区域D上任取一直径很小的闭区域， 曲面S的面积元素 曲面面积公式为： ３ 设曲面的方程为： 曲面面积公式为： ２ 设曲面的方程为： 曲面面积公式为： 同理可得 解 解 如图建立坐标系 通讯卫星覆盖的曲面 是上半 球面被半顶角为 的圆锥面所 截得的部分，其方程为 通讯卫星的覆盖面积与地球的表面积的比为 力学中关于质心的计算公式最初是对质点给出的: 当薄片是均匀的，质心坐标为 解 类似地， 解 取半球体的对称轴为Z轴，原点取在 球心上，设球的半径为a. 力学中关于转动惯量的计算公式最初也是对 质点给出的. (1)平面薄片的转动惯量 薄片对于 轴的转动惯量 薄片对于坐标原点的转动惯量 (２) 空间物体的转动惯量 解 解 原点取在球心上，设球的半径为a. 轴l与Z轴重合， 薄片对 轴上单位质点的引力 为引力常数