08-第8讲无穷小量.pptVIP

* 高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第八讲 无穷小量、无穷大量 脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民 第三章 函数的极限与连续性 本章学习要求： 了解函数极限的概念，知道运用“ε－δ”和 “ε－X ”语言描 述函数的极限。 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。 理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数 间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及 闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。 理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。 第三章 函数的极限与连续性 第二节 无穷小量、无穷大量 一.无穷小量及其运算性质 二. 无穷大量 一、无穷小量及其运算性质 简言之, 在某极限过程中, 以 0 为极限的量称该极限过程中的一个无穷小量. 例1 在任何一个极限过程中, 常值函数 y = 0 均为无穷小量. 1.无穷小量的定义 定义 2. 函数的极限与无穷小量的关系 分析 反之亦然. 由以上的分析, 你可得出 什么结论 ? 由此可看出, 寻找函数极限运算法则可归结为寻找无穷小量的运算法则. 定理 同一个极限过程中的有限个无穷小量之和仍是一个无穷小量. 同一个极限过程中的有限个无穷小量之积仍为无穷小量. 3.无穷小量的运算法则 常数与无穷小量之积仍为无穷小量. 在某极限过程中, 以极限不 为零的函数除无穷小量所得到商 仍为一个无穷小量. 在某一极限过程中, 无穷小量 与有界量之积仍是一个无穷小量. 证明：在某极限过程中, 两个无穷小量之 和仍是一个无穷小量. 证 证明: 在某一极限过程中, 无穷小量与 有界量的积仍是一个无穷小量. 证 例2 证 证明 有界量与无穷小量的乘积 证明：在某极限过程中以极限不为零的函数 除无穷小量所得到商仍为一个无穷小量. 证 有界量与无穷小量之积 (i) 一般说来,有界量的倒数不一定有界. 例如, f (x) = x, x?(0, 1). (ii) 我们没有涉及两个无穷小量商的极限的 情形,因为它的情形较复杂,将在以后专 门讨论. 注意： 例3 解 二. 无穷大量 定义 1.无穷大量的定义 例4 (iii), (iv) 自己画画图会更清楚. 例5 解 无穷大量是按绝对值定义的. 例6 无穷大量是否一定是无界量 ? 在某极限过程中, 无界量是否一定是无穷大量 ? 但该数列是无界的. 当 x ? ? 时, 函数 sinx、cosx, 是否为无穷大量 ？ 因为sinx、cosx 是有界函数, 所以在任何极限过程中它们都不是无穷大量. *