第2章第3节矩阵的秩.pptVIP

第三节 矩阵的秩 2.3 矩阵的秩 2.3 矩阵的秩 2.3 矩阵的秩 2.3 矩阵的秩 2.3 矩阵的秩 2.3 矩阵的秩 2.3 矩阵的秩 2.3 矩阵的秩 2.3 矩阵的秩 2.3 矩阵的秩 2.3 矩阵的秩 2.3 矩阵的秩 2.3 矩阵的秩 2.3 矩阵的秩 2.3 矩阵的秩 2.3 矩阵的秩 2.3 矩阵的秩 2.3 矩阵的秩 本周作业 习题二 8.(1) 9. (1)(2) 10. (2) 11. 13. 例题（一起做） 例： 求 A－1. 解： r2－2r1 r3－3r1 r1 － 2r3 r2 － 5r3 r1 + r2 r3 － r2 故 练习2（大家动笔） 对 A 也可通过初等列变换求 A－1 初等列变换 A = P1 P2 … Pm 注： 表示为： E A E A－1 对于n元线性方程组 AX = B 则 X＝A－1B |A| ? 0，即A－1存在 若 练习2：逆矩阵的应用 (1). 解线性方程组 (I). 解方程组 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 1 2 x1 + 2 x2 + x3 = ?1 3 x1 + 4 x2 + 3 x3 = 3 解：方程组简记为 X = A?1 B 由于 | A | = 2 ? 0, A可逆，故 A X = B 其中 (I). 解方程组 2 x1 + 2 x2 + x3 = ?1 而 即 x1= ? 8, x2= 9, x3= ? 3. (II). 解矩阵方程 解：矩阵方程简记为 A X = B ? 0 ? A－1存在 (III). 解矩阵方程 AX + E = A2 + X 其中 E 为三阶单位矩阵. 解：由 AX + E = A2 + X, 即 ( A?E ) X = ( A ? E )( A + E ). 得 AX ? X = A2 ? E, 所以 A?E 可逆. 故 X = A + E ( A?E ) X = ( A ? E )( A + E ) 所以 (A－E)－1( A?E ) X = (A－E)－1( A ? E )( A + E ). * 第二章 (1)：A 的每个元素 都是 A 的一个一阶子式 (2)：当 A 为 n 阶方阵时，n 阶子式即为 | A | 注： 例如： 一个3阶子式 问：A共有多少个三阶子式？ 矩阵A的秩 显然： r (A) ? min (m, n) 即：矩阵A的不为0的子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记为r (A)。 2. 3 矩阵的秩 例如： 故：r(A) = 3 利用初等变换求矩阵的秩 定理2.6 对矩阵施行初等变换，矩阵的秩不变。 证明：见教材33页。 例： 解： 阶梯形 r ( A ) = 3 注： (3) 非奇异矩阵A，有 | A | ? 0，A的秩就等于 它的阶数，A又称为满秩矩阵。 (2) 奇异矩阵A，也称为降秩矩阵。 (1) 若矩阵 A 中至少有一个 k 阶子式不为0， 而所有 k+1 阶子式全为0，则 r ( A ) = k。 定理2.7 问：所有n阶矩阵按上面的等价关系（秩 相等即为同一类），可分为多少类？ 行初等变换 定理2.9 前例进一步有 A A的标准形 注：若A 为 n 阶满秩方阵，则其标准形为 n 阶单位阵E。 矩阵的初等变换 定义 对矩阵施行下列三种变换称为矩阵的初等行变换 (1) 互换两行 ( 记作 ri ? rj ); (2) 以数 ? ? 0 乘以某一行 ( 记作 ? × ri ); (3) 将第 j 行各元素乘以数?后加到第 i 行的对应元素上去 (记作 ri + ? rj ) 相应地，矩阵的三种初等列变换的记号只需将 r 换成 c。 初等矩阵 定义4.2 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。 2.3 矩阵的秩 定理2.10 对A施行一次初等行变换， 相当于在A的左侧乘以一个相应的初等矩阵； 对A施行一次初等列变换， 相当于在A的右侧乘以一个相应的初等矩阵； 例如： 设A是一个 m × n 矩阵 (1) A r1 ? r2 P(1, 2) A (2) A c3 ? c4 A P(3, 4) 证明: (1)?(2) (2)?(3) (2)?(4) (4)?(1) 证 (1) ? (2) 证明 (2)?(4) 逆矩阵的实用算法 *