第四讲 函数综合应用(答案).docVIP

第四讲 函数综合应用 例1、函数是R上的偶函数,且当时,函数的解析式为 (1)求的值; (2)求当时,函数的解析式; (3)用定义证明在上是减函数; 解答: (1).因为是偶函数,所以; ………2分 (2)设则,所以,又为偶函数,所以 =. ………7分 (3) 设x1，x2是(0，+∞)上的两个任意实数，且x1 x2， 则x= x1- x20，y = f (x1)- f (x2) =-2- (-2) =-=. 因为x2- x1 = -x 0，x1x2 0 , 所以y 0. 因此 f (x) =-2是(0，+∞)上的减函数. ………12分 例2、已知函数f(x),当x、y∈R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证：f(x)是奇函数； (2)如果x0时，f（x）0, 判断f(x)的单调性并证明你的结论； [思路点拨] (1)根据函数的奇偶性的定义进行证明, 只需证f(x)+f(-x)=0; (2)根据函数的单调性定义进行证明，并注意函数奇偶性的应用. 解析： (1)证明 函数定义域为R,其定义域关于原点对称. ∵f（x+y）=f（x）+f（y）， 令x=y=0,∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0. 令y=-x, ∴f(0)=f(x)+f(-x)，即f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数. （2）（方法一）设x1 x2, 且x1、 x2∈R.则f(x1)-f(x2)=f(x1- x2+ x2)-f(x2) =f(x1- x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1- x2). 又∵x0时,f(x)0. 而x1- x20,∴f(x1- x2)0,即f(x1)f(x2), ∴f(x)在R上为减函数. ∴f(x)在（0，+∞）上是减函数. 又∵f（x）为奇函数，f（0）=0， ∴f（x）在（-∞,+∞）上是减函数. （方法二） 设x1x2,且x1、 x2∈R.则f(x2- x1)=f［x2+(- x1)］=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1). ∵x2- x10,∴f(x2- x1)0.∴f(x2)-f(x1)0. 即f(x)在R上单调递减. 例3、设为实数，函数. (1)若，求的取值范围； (2)求的最小值； (3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集. 解：（1）若，则 ………2分 （2）当时， 当时， 综上 ………7分 （3）时，得， 当时，； 当时，△0,得： 讨论得：当时，解集为; 当时，解集为; 当时，解集为. ………12分 （其它解法请酌情给分） 例4、设函数定义在上，对于任意实数，恒有 ，且当时， （1）求证： 且当时， （2）求证： 在上是减函数； （3）设集合，， 且， 求实数的取值范围。 （1）证明：，为任意实数， 取，则有 当时，，，……2分 当时， ，则 取 则 则 ……4分 （2）证明：由（1）及题设可知，在上 ， …………7分 所以在上是减函数…………8分 （3）解：在集合中 由已知条件，有 ，即…………11分 在集合中，有 ，则抛物线与直线无交点 ，， 即的取值范围是…………14分 例5、已知奇函数 （1）求实数的值；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围． 解：（1），则，， 又是奇函数，，于是时，． ．-----------------------------------------------------------------------------6分 （2）要使在上单调递增，须解得． 故实数的取值范围为．------------------------------------12分 练习题 一、选择题 1、函数的定义域为 （　C　） A． B． C． D． 2、函数 （　B　） A．[0，1]　　B．[1，2] C．[－1，1]　D．[0，2] 3、函数在和都是增函数，若，且那么（ D ） A． B． C． D．无法确定 4、函数在以下哪个区间内一定有零点 ( B ) A． B． C． D． 5、函数的奇偶性是（ C ） A．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 6、是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是( D ) A、 B、 C、 D、 7、已知f(x）=ax2+bx是定义在[a-1，2a]上的偶函数, 那么a+b的值是 （ B ） A. B. C. D. 解析： 依题意