第四篇三角函数解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式.docVIP

第2讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式 【2013年高考会这样考】 1．考查同角三角函数的基本关系式． 2．考查诱导公式在三角函数化简求值中的运用． 【复习指导】 本讲复习时应紧扣三角函数的定义，理解记忆同角三角函数的基本关系式和诱导公式；特别是对诱导公式的记忆口诀要理解透彻，可通过适量训练加强理解，掌握其规律． 基础梳理 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1； (2)商数关系：＝tan α. 2．诱导公式 公式一：sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos_α，其中kZ. 公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α， tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α. 公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α. 公式五：sin＝cos_α，cos＝sin α. 公式六：sin＝cos_α，cos＝－sin_α. 诱导公式可概括为k·±α的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号． 一个口诀 诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限． 三种方法 在求值与化简时，常用方法有： (1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦． (2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． (3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan＝…. 三个防范 (1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负－脱周－化锐． 特别注意函数名称和符号的确定． (2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化． 双基自测 1．(人教A版教材习题改编)已知sin(π＋α)＝，则cos α的值为(　　)． A．± B. C. D．± 解析　sin(π＋α)＝－sin α＝， sin α＝－.cos α＝±＝±. 答案　D 2．(2012·杭州调研)点A(sin 2 011°，cos 2 011°)在直角坐标平面上位于(　　)． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　2 011°＝360°×5＋(180°＋31°)， sin 2 011°＝sin[360°×5＋(180°＋31°)]＝－sin 31°＜0， cos 2 011°＝cos[360°×5＋(180°＋31°)]＝－cos 31°＜0， 点A位于第三象限． 答案　C 3．已知cos α＝，α(0，π)，则tan α的值等于(　　)． A. B. C．± D．± 解析　α∈(0，π)，sin α＝＝，tan α＝＝. 答案　B 4．cos－sin的值是(　　)． A. B．－ C．0 D. 解析　cos＝cos＝cos＝cos＝，sin＝－sin＝－sin＝－sin＝－.cos－sin＝＋＝. 答案　A 5．已知α是第二象限角，tan α＝－，则cos α＝________. 解析　由题意知cos α＜0，又sin2α＋cos2α＝1，tan α＝＝－.cos α＝－. 答案　－　　 考向一　利用诱导公式化简、求值 【例1】已知f(α)＝，求f. [审题视点] 先化简f(α)，再代入求解． 解　f(α)＝＝cos α， f＝cos π＝cos＝cos ＝. (1)化简是一种不指定答案的恒等变形，其结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值． (2)诱导公式的应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了． 【训练1】 已知角α终边上一点P(－4,3)，则的值为________． 解析　原式＝＝tan α，根据三角函数的定义，得tan α＝＝－. 答案　－ 考向二　同角三角函数关系的应用 【例2】(2011·长沙调研)已知tan α＝2. 求：(1)； (2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α. [审题视点] (1)同除cos α； (2)利用1＝sin2α＋cos2α，把整式变为分式，再同除cos2α. 解　(1)＝＝＝－1. (2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝ ＝＝＝1. (1)对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求．转化