高二家教2013.1.3.docVIP

8. 已知四棱锥P—ABCD，它的底面是边长为a的菱形，且∠ABC＝120°，PC⊥平面ABCD，又PC＝a，E为PA的中点. (1)求证：平面EBD⊥平面ABCD； (2)求点E到平面PBC的距离； (3)求二面角A—BE—D的大小. (1)证明: 在四棱锥P—ABCD中，底面是菱形，连结AC、BD，交于F，则F为AC的中点. 又E为AD的中点，∴EF∥PC 又∵PC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.EF平面EBD. ∴平面EBD⊥平面ABCD. (2)∵EF∥PC，∴EF∥平面PBC ∴E到平面PBC的距离即是EF到平面PBC的距离 过F作FH⊥BC交BC于H， ∵PC⊥平面ABCD，FH平面ABCD ∴PC⊥FH. 又BC⊥FH，∴FH⊥平面PBC，则FH是F到平面PBC的距离，也是E到平面PBC的距离. ∵∠FCH＝30°，CF＝a. ∴FH＝CF＝a. (3)取BE的中点G，连接FG、AG由(1)的结论，平面BDE⊥平面ABCD，AF⊥BD， ∴AF⊥平面BDC. ∵BF＝EF＝，∴FG⊥BE，由三垂线定理得，AG⊥BE， ∴∠FGA为二面角D—BE—A的平面角. FG＝×＝a,AF＝a. ∴tg∠FGA＝＝,∠FAG＝arctg 即二面角A—BE—D的大小为arctg 528. 如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠A＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝a,E是PA的中点. (1)求证平面BDE⊥平面ABCD. (2)求点E到平面PBC的距离. (3)求二面角A—EB—D的平面角大小. 解析：(1)设O是AC，BD的交点，连结EO. ∵ABCD是菱形，∴O是AC、BD的中点， ∵E是PA的中点，∴EO∥PC，又PC⊥平面ABCD， ∴EO⊥平面ABCD，EO平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD. (2)EO∥PC，PC平面PBC， ∴EO∥平面PBC，于是点O到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离.作OF⊥BC于F， ∵EO⊥平面ABCD，EO∥PC，PC平面PBC，∴平面PBC⊥平面ABCD，于是OF⊥平面PBC，OF的长等于O到平面PBC的距离. 由条件可知，OB＝,OF＝×＝a，则点E到平面PBC的距离为a. (3)过O作OG⊥EB于G，连接AG ∵OE⊥AC，BD⊥AC ∴AC⊥平面BDE ∴AG⊥EB(三垂线定理) ∴∠AGO是二面角A—EB—D的平面角 ∵OE＝PC＝a,OB＝a ∴EB＝a. ∴OG＝＝a 又AO＝a. ∴tan∠AGO＝＝ ∴∠AGO＝arctan. 504. 如图9－18，已知P为△ABC所在平面外一点，PC⊥AB，PC＝AB＝2，E、F分别为PA和BC的中点． 　　（1）求证：EF与PC是异面直线； 　　（2）EF与PC所成的角； 　　（3）线段EF的长． 解析：（1）用反证法．假设EF与PC共面于?，则直线PE、CF共面?，则A∈?，B∈?，于是P与A、B、C共面于?，这与已知“P是平面ABC外一点”矛盾．故EF与PC是异面直线． 　　（2）取PB中点G，连结EG、FG，由E、F分别是线段PA、BC中点，有EGAB，GFPC ∴ ∠GFE为异面直线EF与PC所成的角，∠EGF是异面直线PC与AB所成的角，∵ PC⊥AB，∴ EG ⊥GF，即∠EGF＝90°．∵ PC＝AB＝2，∴ EG＝1，GF＝1，故△EFG是等腰直角三角形，∴ ∠GFE＝45°，即EF与PC所成的角是45°． 　　（3）由（2）知Rt△EGF中EG＝1，GF＝1，∠EGF＝90°，∴ EF＝ 429. 求棱长为a的正四面体的外接球和内切球的半径. 解析：如图，作AH⊥底面BCD于H，则AH＝a，设内切球的球心为O，半径为r，O点与A、B、C、D相连，得四个锥体，设底面为S，则每个侧面积为S，有4··Sr＝S·AH，∴r＝AH＝a,设外接球心为O，半径R，过A点作球的半径交底面ΔBCD于H，则H为ΔBCD的外心，求得BH＝a,AH＝a,由相交弦定理得a×(2R-a)＝(a)2. 解得R＝a. 428. 如图，过半径为R的球面上一点P作三条两两垂直的弦PA、PB、PC，(1)求证：PA2+PB2+PC2为定值；(2)求三棱锥P—ABC的体积的最大值. 解析：先选其中两条弦PA、PB，设其确定的平面截球得⊙O1，AB是⊙O1的直径，连PO1并延长交⊙O1于D，PADB是矩形，PD2＝AB2＝PA2+PB2，然后只要证得PC和PD确定是大圆就可以了. 解： (1)设过PA、PB的平面截球得⊙O1，∵PA⊥PB， ∴AB是⊙O1的直径，连PO1并延长交⊙O1于D，则PADB是矩形，PD2＝PA2+PB2. 设O为球心，则OO1⊥平面⊙O1， ∵PC⊥⊙O1平面， ∴