教案--20111105-4总结课：不等式的证明.docVIP

尚师教育教师教案 课题 高1数学总结之不等式（2）：均值（基础）不等式 授课时间 年 月 日 星期 _______ _____时______分------______时_______分 教师 王鹏兴 学生 年级 高1 学科 数学 作业完成情况 教学内容 基础不等式及其应用 教学目标 利用基本不等式解决最值问题函数y=在x1的条件下的最小值为为多少？此时x为多少？ 题2：证明不等式 方法一： 方法二： 例题3：若ab0，求证： 总结： 作差法与作商法 2、综合法与分析法 例4 已知a0，b0，求证： 分析 由不等式变形即得，即得 证法一 要证， 　　即证， 　　即证， 　　即证。 　　∵a0，b0 ∴a+b0， 　　∴即证， 　　即证，显然成立。 　　以上各步均可逆，所以原不等式成立。 　　证法二 由，得，， 　　∵a0，b0 ∴a+b0， 　　∴， 　　∴， 　　∴， 　　∴， 　　∴。 （1）本题是分析法和综合法结合运用的典型，通过分析法发现寻求证题思路，运用综合法写出证题过程，自然流畅。 3、关于均值不等式法（公式法） 　　均值不等式法就是运用均值不等式来证明有关不等式，其关键在于善于发现题目的结构和条件与均值不等式相似（相同）本质特征，常用的公式有： 　　； 　　； 　　； 　　； 　　。 例题5：已知a、b、，且a+b+c=1。 　　求证：（1） 　　（2） 4、放缩法： 通过对不等式舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明不等式成立的方法叫放缩法，放缩不等式的常用方法有：舍去或添加一些项；将分子或分母放大（或缩小）；利用已有结论，运用放缩法要注意放缩必须适度，防止放得过大或缩得过小。 例6：设a、b、c、， 　　令， 　　求证：1s2 5、反证法： 例7 已知，求证：|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|中至少有一个不小于。 　　分析 本题可以从结论的否定入手，运用反证法。 　　证明 假设：|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都小于，即， 　　， 　　由消去a、b得f（1）－2f（2）+f（3）=2。 　　∴ 　　，即22，不可能。 　　假设不成立。 　　∴|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|中至少有一个不小于。 　　点评 反证法适宜证明“存在性问题，惟一性问题，带有‘至少一个’或‘至多’等字样的问题”等数学问题。 6、构造函数法 例如：证明，可转化为求函数的值域： 例8 设0x1，0y1，0z1，证明。 　　分析 构造一次函数解答本题。 　　证明 构造函数整理，得f(x)=(1-y-z)x+(y+z-yz) （0x1） 　　(1)当01―y―z1时，f(x)在（0，1）上是增函数，于是 　　f(x)f(1)=1―yz1； 　　(2)当―11―y―z0时，f(x)在（0，1）上是减函数，于是 　　f(x)f(0)=y+z―yz=1―(1―y)(1―z)1； 　　(3)1―y―z=0时，即y+z=1时， 　　f(x)=y+z―yz=1―yz1， 　　综上，原不等式成立。 点评 由于―11―y―z1，所以本题就“01―y―z1，―11―y―z0，1―y―z=0”三种情况进行了讨论，所用数学思想是分类讨论的思想。 7、换元法： ·换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元，例如，已知，求证，可设x=rcosθ，y=rsinθ（0≤r≤1）。 设求证:. 分析:经过观察,我们发现,把中的两个互换,不等式不变,说明这是一个对称不等式,如果我们令则原不等式可化为: . 8、图形结合法（构造） 　　·构造法：通过构造函数或相关几何图像，利用函数性质（如单调性）或图形的几何性质，使问题得以解决，例如：证明，可构造以A（a，b），B（1，0），C（0，1）为顶点的三角形，利用三角形“两边之和大于第三边”（A、B、C共线时等号成立）的性质加以解决。 练习： 　　1．已知a0，a≠1，，，则P、Q的大小关系是（ ） 　　A．PQ B．PQ C．P=Q D．大小不确定 　　2．设a，b，，且ab，则下列等式中恒成立的是（ ） 　　A． B． 　　C． D． 　　3．已知a，，则与的大小关系是（ ） 　　A． B． 　　C． D．与a、b的大小有关 　　4．比较与a的大小关系是_____________________。 　　5．证明不等式 　　6．证明不等式