高等数学第一册ppt教材GL周3.pptVIP

一、两个基本概念 一、协方差 1.定义 设有两个随机变量两个X和Y， 若E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}存在， 则称 r.v X与Y的协方差， 记为Cov(X,Y), 即 §3 协方差与相关系数 E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} Cov(X,Y)= =E(XY) -E(X)E(Y) Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y) (3) Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b是常数 (4) Cov(c,X)= 0 c是常数 (5) Cov(X1+X2,Y)= (6) D(X+Y)= E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} Cov(X,Y)= (2) Cov(X,Y)= Cov(Y,X) 2.协方差的性质 ⑴ Cov(X,X)= D(X) =E(XY) -E(X)E(Y) 例1 设随机变量X,Y的联合分布律为 求Cov(X,Y). X Y -1 0 1 -1 0 1 E(XY) -E(X)E(Y) Cov(X,Y)= 例2 设随机变量X,Y的联合概率密度为 求 Cov(X,Y) 两个随机变量两个X和Y 的协方差： E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} Cov(X,Y)= =E(XY) -E(X)E(Y) 相关系数的性质： 两个随机变量X和Y的相关系数： 二、相关系数 2. X和Y独立时， =0，但其逆不真. X和Y独立 即 则称X和Y不相关 . X和Y不相关 X和Y独立 X和Y不相关 若(X,Y)服从二维正态分布，则 X与Y独立 X与Y不相关 2. X和Y独立时， =0，但其逆不真. X和Y独立 即 存在常数a,b(b≠0）， 使P{Y=a+bX}=1， X和Y以概率1存在线性关系. 则称X和Y不 相关 . 线性 即 如 设X服从(-1/2, 1/2)内的均匀分布,而 Y=cos X, B np 0.2 0.1 0 0.1 0 0.3 0.1 0.1 0.1 -1 0 1 1 2 3 Y X Cov(X,Y)= 0 . 若X与Y独立， E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} Cov(X,Y)= 反之不成立。 Cov (X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y) 即 P {X =i } 1 P {Y = j } X,Y的联合及边缘分布律为 例1解： E(X)= E(Y)= X Y -1 0 1 -1 0 1 0 0 E(XY)= Cov(X,Y) =E(XY) -E(X)E(Y) 例2 设随机变量X,Y的联合概率密度为 求 Cov(X,Y) E(X) 解 E(XY)= E(Y) E(X) Cov(X,Y) =E(XY) -E(X)E(Y) 2、相关系数的性质： 由方差的定义和性质知, 对任意实数b,有 D(Y-bX) 令 ，则上式为 D(Y- bX)= 证: 0≤ = D(Y) +b2D(X)-2b Cov(X,Y ) 例3 将一枚硬币重复掷n 次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y的相关系数等于( ). (A) -1 ; ( B) 0 ; (C) 1/2 ; (D) 1 A 设随机变量X,Y的联合分布律为 X Y -1 0 1 -1 0 1 Cov(X,Y)＝0 P {X =i } P {Y = j } P {X = 0,Y=0}=0 P {X = 0}= =P {Y = 0} X,Y不独立 大量随机现象. 概率论是研究随机现象统计规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下, 进行大量重复试验时才会呈现出来. 也就是说， 要从随机现象中去寻求必然的法则， 应该研究 大数定律 中心极限定理 与 第五章 大数定律及中心极限定理 一、大数定律 二、中心极限定理 大量的随机现象中平均结果的稳定性 大数定律的客观背景 大量抛掷硬币 正面出现频率 字母使用频率 生产过程中的 废品率 …… §1 大