【成才之路】高中数学必修一新课标人教版 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 幂函数 幂函数.pptVIP

2．3　幂 函 数 1．一般地形如 的函数叫做幂函数． 函数的图象与性质列表如下： 观察总结可知幂函数y＝xα(α为常数)的性质： (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都通过点(1,1)； (2)如果α0，则幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上为增函数； (3)如果α0，则幂函数在(0，＋∞)上为减函数，在第一象限内，向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近． (4)当α为奇数时，幂函数为奇函数，图象都过(－1，－1)点，当α为偶数时，幂函数为偶函数、图象都过(－1，1)点． 本节重点：幂函数的概念、图象与性质． 本节难点：幂函数y＝xα的图象随α取值不同的分布与变化规律． [例1]　幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp，y＝xq的图象如图，则将m、n、p、q的大小关系用“”连接起来结果是________． [解析]　过原点的指数α0，不过原点的α0， ∴n0， 当x1时，在直线y＝x上方的α1，下方的α1， ∴p1,0m1,0q1； x1时，指数越大，图象越高，∴mq， 综上所述nqmp. [点评]　x1时，逆时针方向α依次增大，故nqmp. 函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图象如图所示，则实数a、b、c的大小关系为 (　　) A．cba　　　　　 B．abc C．bca D．cab [答案]　A 总结评述：1.注意利用幂函数的性质比较幂值大小的方法步骤． 第一步，据指数分清正负； 第二步，正数区分大于1与小于1的，a1，α0时，aα1；0a1，α0时0aα1；a1，α0时0aα1；0a1，α0时，aα1； 第三步，构造幂函数应用幂函数单调性，特别注意含字母时，要注意底数不在同一单调区间内的情形． 2．给定一组数值，比较大小的步骤． 第一步：区分正负．一种情形是幂函数或指数函数值即幂式确定符号；另一种情形是对数式确定符号，要根据各自的性质进行． 第二步：正数通常还要区分大于1还是小于1. 第三步：同底的幂，用指数函数单调性；同指数的幂用幂函数单调性；同底的对数用对数函数单调性． 第四步：对于底数与指数均不相同的幂，或底数与真数均不相同的对数值大小的比较，通常是找一中间值过渡或化同底(化同指)、或放缩、有时作商(或作差)、或指对互化，对数式有时还用换底公式作变换等等． [解析]　(1)考察幂函数y＝x1.5，在区间[0，＋∞)上是单调增函数， ∵a＋1a，∴(a＋1)1.5a1.5. [例3]　某农药厂今年生产农药8 000吨，计划5年后把产量提高到14 000吨，问平均每年需增长百分之几？ [解析]　设平均每年增长的百分率为x，则由题意得，8 000(1＋x)5＝14 000， 答：平均每年需增长11.9%. [例4]　幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3当x∈(0，＋∞)时为减函数，求实数m的值． [解析]　∵y＝(m2－m－1)xm2－2m－3为幂函数， ∴m2－m－1＝1， 即(m－2)(m＋1)＝0， ∴m＝2，或m＝－1. 当m＝－1时，m2－2m－3＝0不满足题意，舍去． 当m＝2时，m2－2m－3＝－3满足题设条件， ∴m＝2. 已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数． (1)求函数f(x)； (2)比较f(－2)与f(1)的大小． [解析]　(1)由题意m2－2m－30， ∴－1m3， ∵m∈Z，∴m＝0,1,2， ∵f(x)为偶函数，∴m2－2m－3为偶数， ∴m＝1，∴f(x)＝x－4. (2)∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减， ∴f(1)f(2)＝f(－2)． [例5]　判断幂函数y＝x3的单调性和奇偶性． [分析]　函数单调性的判断：取值——作差——判断符号——下结论，函数奇偶性的判断：定义域——f(－x)与－f(x)、f(x)的关系——下结论． [解析]　∵f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)， ∴y＝x3是奇函数． 解法一：∵α＝30，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数， 又∵f(x)为奇函数，∴f(x)在R上为增函数． 解法二：在(－∞，＋∞)上任取x1，x2，设x2x1， [辨析]　错解忽视了3x－10,2＋x0的限制条件． 一、选择题 1．下列函数中是幂函数的是 (　　) [答案]　C 2．下列结论中，正确的是 (　　) A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B．幂函数的图象可以出现在第四象限 [答案]　C 3．下列幂函数的值域错误的是 (　　) [答案]　D [答案]　B [答案]　A