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让数学习题课生动起来 ——江都市国际学校 夏正春 众所周知，数学习题课是数学教学过程中的重要一环，如何让它不成为单纯的练习课呢？笔者在教学过程中作了一些尝试，在此谈几点想法，意在抛砖引玉： 一、通过知识比对，让学生体会新知的价值 范例一：学生在初次接触黄金分割时，对于黄金比是抽象的理解，但在学习了一元二次方程的解法后，可安排学生由黄金分割定义通过解一元二次方程求得黄金比。 范例二：在学习过相似三角形后，对于射影定理的证明学生已基本掌握，但过程相对较繁。在学习过锐角三角函数后，可在习题课引导学生用锐角三角函数定义证明射影定理，此法显然较为灵活易于接收。 二、挖掘典型例题，激发学生探索兴趣 范例三：如图，已知△ABC中， ∠C=90°，AB=AC，P为AB中点 E、F分别在AC、BC上且∠EPF=90°， 求证：PE=PF 分析：这是一条基于全等的典型题，在此基础上若提出下问题则颇有思考价值：①若AC=a，求EF的最大值、最小值；②比较△CEF与△PEF面积的大小；③若BE=3 CF=4，求四边形AEPF及△PEF的面积。 三、注重解题的思想方法，让学生享受成功的喜悦 范例四：已知△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，求内切圆半径r。 分析：本题的解决大致有两种方法：一是利用切线长定理；二是利用面积法，在学生掌握这些方法的基础上可让学生尝试求此三角形某一旁切圆的半径。 四、紧扣解题中的焦点问题，激发学生参与讨论的热情。 在范例四中，两种方法求得的结果表达式是不同的，对于和，及时引导学生质疑、猜想、证明两者的恒等性。 五、从简单的现象入手，培养学生猜想、归纳、类比、证明的能力 范例五：在学习过扇形面积公式后， 及时与三角形面积公式对照，进而引导学生 解决下列问题：如图：在扇形OBC中，A为OB上一点。以O为圆心OA为半径画弧交OC于D，已知BC长为m ，AD长为n ， CD=a，试用m、n、a的代数式表示阴影面积并说明理由，事实上大多同学都会凭直觉猜想到正确结果并带着强烈的好奇心去进行探究、证明。 当然，随着多媒体技术的不断发展，我们可采用越来越多的生动、形象的手段去完成教学目标，值得一提的是：几何画板、flash动画等在很多问题的讲授中能极大提高学生学习效率，从而减轻学生理解和记忆的负担。 怎样数才不会少 ——一道分类计数的好题 江都市国际学校 夏正春 在《时代学习报》数学周刊第300期（九年级）“智力冲浪”栏目中有一道这样的题目：如图，在四个正方形拼接成的图形中，以这十个点中任意三点为顶点能组成 个等腰直角三角形。 本题的命题者给出一个错误的答案：24个，大多学生在解本题时也显得思维较为凌乱，很难准确求解，笔者认为可从下面两条思路着手考虑。 一、抓住等腰直角三角形斜边长度进行分类计数 结合图形发现，若令小正方形边长为1，则等腰直角三角形斜边长从小到大依次,2,2,，其中斜边为的共有18个如△A1A2A3，斜边为2的共有10个，如△A1A3A7，斜边为2共有2个如△A2A4A8，斜边长为的有2个如△A9A2A6。所以符合条件的等腰直角三角形共有32个。 二、抓住等腰直角三角形的直角顶点位置进行分类计数。 以A1为直角顶点的等腰直角三角形有△A1A2A10、△A1A3A9共2个。 以A2为直角顶点的等腰直角三角形有△A2A1A3共1个。 以A3为直角顶点的等腰直角三角形有△A3A2A10、△A3A4A10、A3A9A9、△A3A1A7共4个。 以A10为直角顶点的等腰直角三角形有△A10A1A3、△A10A7A4、 A10A9A7、△A10A1A9、A10A2A4、△A10A4A8共6个。 以A9为顶点的等腰直角三角形有△A9A8A10、△A9A1A7、A9A2A6、共3个 而由原图的轴对称性，另5个点A4、A5、A6、A7、A8情况分别同A3、A2、A1、A10、A9，所以共有2（2+1+6+4+3）=32个。 A P B E B F C A D B C O ⌒ ⌒