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研究性学习开题报告表 课题题目 有理数小史 组 别 女 指导老师 鲁璐 课题组成员 李文 组 长 李文 主导课程 数学 相关课程 数学 简要背景说明（课题是如何提出来的） 本学期学习了有理数的概念及其运算， 便想探究它的由来和背景 课题的目的与意义 目的：了解有理数的由来历史 意义：增加对有数的理解，更好的学习有理数 活动计划：（1）任务分工：由本人做全部工作 （2）活动步骤：分（ 3 ）阶段实施 阶段 2 时间（周） 主要任务 阶段目标 1查出所需资料 3将探究出的结论归整誊写 2深入理解资料内容 （3）计划访问的专家：校内（1 ）几位，如（ 鲁璐 ）等 （4）活动所需的条件： 图书资料：数学资料书 其他 实施设备：电脑，图书 交通工具： 预期成果：查出资料 表达方式：报告 英文概要 研究性学习中期报告表 课 题 有理数小史 课题组成员 李文 组 长 李文 指导老师 鲁璐 主导课程 数学 相关课程 数学 开 展 的 主 要 活 动 ， 课 题 进 展 情 况 活动：分别从书上和电脑上查取有理数历史 咨询老师 进展：查到有理数最早使用的时间和国家（埃及，公元前17世纪） 及有理数的范围（整数和分数，正有理数和负有理数以及0） 主 要 研 究 方 法 上网查资料 询问 中 期 结 果 或 初 步 结 论 古埃及人约于公元前17世纪已使用分数，中国《九童算术》中也载有分数的各种运算。分数的使用是由于除法运算的需要。除法运算可以看作求解方程px=q（p≠0），如果p，q是整数，则方程不一定有整数解。为了使它恒有解，就必须把整数系扩大成为有理系。 　　关于有理数系的严格理论，可用如下方法建立。在Z×（Z -{0}）即整数有序对（但第二元不等于零）的集上定义的如下等价关系：设 p1，p2 Z，q1，q2 Z - {0}，如果p1q2=p2q1。则称（p1，q2）～（p2，q1）。Z×（Z -{0}）关于这个等价关系的等价类，称为有理数。（p，q）所在的有理数，记为 。一切有理数所成之集记为Q。令整数p对应一于 ，即（p，1）所在的等价类，就把整数集嵌入到有理数的集中。因此，有理数系可说是由整数系扩大后的数系。全体有理数构成一个集合，即有理数集，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书则用空心字母Q表示．有理数集是实数集的子集．相关的内容见数系的扩张．有理数集是一个域，即在其中可进行四则运算（0作除数除外），而且对于这些运算，以下的运算律成立（a,b,c等都表示任意的有理数） 加法的交换律 a+b=b+a；②加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c；③存在数0，使 0+a=a+0=a；④对任意有理数a，存在一个加法逆元，记作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0；⑤乘法的交换律 ab=ba；⑥乘法的结合律 a(bc)=(ab)c；⑦分配律 a(b+c)=ab+ac；⑧存在乘法的单位元1≠0，使得对任意有理数a，1a=a1=a；⑨对于不为0的有理数a，存在乘法逆元1/a，使a(1/a)=(1/a)a=1．此外，有理数是一个序域，即在其上存在一个次序关系≤．有理数还是一个阿基米德域，即对有理数a和b，a≥0，b0，必可找到一个自然数n，使nba．由此不难推知，不存在最大的有理数． 值得一提的是有理数的名称．“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”．事实上，这似乎是一个翻译上的失误．有理数一词是从西方传来，在英语中是rational number，而rational通常的意义是“理性的”．中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”．但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为ratio，就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）．所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”．与之相对，“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理．