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主 要 内 容 一．基础：函数, 极限, 连续 二．一元微积分：微分(导数),积分(定积分、不定积分) 三．无穷级数 四．空间解析几何 函数、极限与连续性 函数反映的是客观世界中各种变量之间的相互依赖关系, 高等数学的研究对象主要是函数关系, 极限方法是研究函数的一种基本方法, 本章将介绍映射、函数、极限和函数的连续性等基本概念, 以及它们的一些性质. 第一节 函 数 一、区间与邻域 1. 区间 设是两个实数, 且 介于之间的一切实数所构成的集合称为区间, 与称为区间端点, 按照是否包含区间端点, 可分为 开区间 , 闭区间 , 半开半闭区间 , . 以上这些区间都称为有限区间. 数称为这些区间的长度. 这些区间可用数轴上的有限线段来表示. 此外还有所谓的无限区间 , , , . 全体实数的集合可记作它是一个无限区间. 这里（读作正无穷大）, （读作负无穷大）只是一个记号, 不是一个数. 以后在不区分区间类型时, 就简单称之为“区间”, 并常用表示. 2. 邻域 邻域也是一个经常用到的实数集. 设与是两个实数. 且0, 称实数集 为点的邻域, 记作. 即 . 点称为邻域中心, 称为邻域半径. 点的邻域在数轴上是以为中心, 2为长度的开区间. 点的邻域去掉中心点后, 称为点的去心邻域, 记作, 即 . 以后在不需强调邻域半径时, 就简单地记为和. 二、函数及其表示方法 1 . 函数的概念 客观世界的同一事物往往有几个不同的量在变化着, 而且这几个量的变化不是孤立的, 而是遵循着一定的变化规律而相互联系、相互依赖的. 例如在自由落体运动过程中, 物体所落下的路程与下落的时间是两个变量, 它们之间存在着依赖关系 ， 其中是重力加速度, 如果经过时间物体落到地面, 则当在上任意取定一个数值时, 由上式就可以确定相应的数值. 又如, 圆的面积与半径之间存在着如下依赖关系 . 当在内任意取定一个数值时, 由上式就可以确定相应的数值. 上面例子中描述变量间相互依赖关系的一种关系式，就是数学上所谓的函数关系. 定义 设和是两个变量, 是一个非空数集. 如果对每个, 变量按照一定的规则总有确定的数值与之对应, 则称是的函数, 记为. 并称为自变量, 为因变量, 的变化范围称为函数的定义域. 当取时, 与相对应的的值记为或或, 称为函数在点处的函数值. 当取遍内的所有值时, 所对应的函数值的全体的集合称为函数的值域. 函数记号中的字母“”反映自变量与因变量的对应规则, 即函数关系. 对应规则也常常用“”, “”, “”, “”等表示, 而函数关系也可以记为, , 等. 有时也可以简记作, 此时等号左边的表示函数值, 右边的表示对应规则. 如果对每个, 变量只有一个确定的值与之对应, 这种函数称为单值函数；如果对每个对应两个或两个以上的值, 这种函数称为多值函数, 对多值函数, 可以将其拆成若干个单值函数进行讨论, . 以后如无特别说明, 我们所研究的函数都是单值函数. 在数学中, 若不考虑函数关系的实际意义, 只是抽象地研究用数学表达式表达的函数, 这时若无特别强调, 函数的定义域就是使这个函数的数学表达式有意义的自变量取值的集合. 如果是定义域内的点, 则说函数在有定义. 例1 求函数的定义域, 并求与. 解 要使算式有意义, 必须 1 且 0 即 5 且 5, 从而 且 . 于是函数的定义域为. 因为, , 所以,. 函数的定义域和对应规则是确定函数的两个要素, 两个函数当且仅当它们的定义域和对应规则( 或 定义域、对应规则、值域)都相同时, 才能认为是同一函数. 例2 研究函数与函数是不是相同的函数. 函数的的定义域是, 而的定义域是, 故定义域不同。如图2-1与图2-2所示. 图2-1 图2-2 所以与是定义在不同区间上的两个不同的函数. 例4 研究函数与函数是否为相同的函数. 函数与都是定义在上的函数, 但是当时, 函数的函数值小于零, 而函数的函数值大于零,即：值域不同 如图2-3与图2-4所示 图2-3 图2-4 所以函数与是两个定义域相同,但对应