数学分析习题解答1.docVIP

第一章 实数集与函数 §1 实数 7. 设a b, 则由a + x b + x 0和ax bx易知1. 设a b, 则由a + x b + x , b + x 0和ax bx易知 1. 8. 设=n / m, 其中m, n为正整数且无公约数，则pm2 = n2 . 设p是素数，则由p整除n2 知p整除n, 故可设n = pq, 则m 2 = pq 2, 故p也整除m 2, 从而整除m, 因此m, n有公约数p, 与假设矛盾. 设p不是素数. 因为p不是完全平方数, 故有素数r使p = r 2k + 1t, 从而r 整除n. 同上可得r整除m,矛盾. 9. (1) | x ( a | | x ( b |( | x ( a | x ( b 或 | a ( x | b ( x. ①| x ( a | x ( b(x b且x ( b x ( a b ( x ( a b 且x ? (a + b). ②| x ( a | b ( x ( a b 且 x ? (a + b). (2) 已见上面(1)①. (3) | x 2 ( a | b ( b 0且(b x 2 ( a b( b 0且a ( b x 2 a + b ( a ( b 0时 | x | , 或| a | b时| x | . §2 数集 确界原理 6. (1) 记b = sup S. 一方面, x∈S ( ( ( x∈S ( ( x≤b ( x≥(b; 另一方面, (( 0 ( ( x∈S使(x b ( ( , 即(x∈S ( 使x ( b +( . 由下确界定义得证. 7. (1) 记( = sup A, ( = sup B. 一方面, z∈A + B, z = x + y, x∈A, y∈B. 由sup的定义, x ≤α， y≤(, 故z≤( + (. 另一方面, (ε 0, (x∈A, y∈B使x ( ( ? (, y ( ( ? ( , 即(z = x + y∈A + B使z ( + ( ((. 由上确界定义得证. 8. 设a 1. , r x时a r a x ; 另一方面, (p a x 有log a p x, 因而存在有理数 r 使 log a p r x . 因此p a r. 综合这两个方面，由sup的定义得证. a 1 时的结论可类似地证明. §3 函数概念 9. 周期为2( , 在一个周期长区间[(]内, arcisn(sin x) =即arcsin (sin x) = 10. (2) = x ( k( (x∈( k( ( ? (, k( + ? ()). 11. 按照绝对值的定义| x | =不是初等函数. 但按| x | =的表示, 是初等函数. 12. ∵ x ( 1 [ x ]≤x, ∴( 1 []≤. ∴ x 0 时…, x 0 时…. §4 具有某些特性的函数 7. (1) 是集g ( D )的上界, 因而也是f (D)的上界. 8. 应用§2第6题. 9. (M 0, 0 arctanM ? ( , 故(x 使0 arctanM x ? ( , tan x tan (arctan M ) = M , 从而f (x) = tan x在(( ( / 2, ( / 2)内无界. 在[ a, b]上tan a ≤tan x≤tan b, f有界. 10. 有界, 不单调. 以任意有理数为周期: 设t 为有理数, 则x为有(无)理数时x + t 为有(无)理数, D ( x + t ) = D (x); 设t为无理数, 则x为有理数时x + t 为无理数, D (x + t) = 0 ≠ 0 = D (x), 故无理数不是其周期. 11. 设x 1 x 2 , 则| sin ? (x 2 ( x 1) cos ? (x 2 + x 1)| ≤ ? | x 2 ( x 1| x 2 ( x 1, f (x 2 ) ( f (x 1) = 2 (x 2 ( x 1) + sin x 2 ( sin x 1 = 2 (x 2 ( x 1) + 2 sin ? ( x 2 ( x 1) cos ? ( x 2 + x 1) 0. 12. (1) M (x) = 1. (2) 总练习题 1—7, 11略. 8. f (f (x))≤ f (g (x))≤ g (g (x))≤ g(h(x))≤ h (h (x)). 9. 设x 1 x 2, 则 f (x 1) ≤ f (x 2), g (x 1)≤ g (x 2), ( (x 1) = max { f (x 1), g (x 1)} = f (x 1)或 g