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中档大题规范练5　圆锥曲线 1．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1 (ab≥1)的离心率e＝eq \f(\r(2),2)，右焦点到直线2ax＋by－eq \r(2)＝0的距离为eq \f(\r(2),3). (1)求椭圆C的方程； (2)已知椭圆C的方程与直线x－y＋m＝0交于不同的两点M，N，且线段MN的中点不在圆x2＋y2＝1内，求m的取值范围． 解　(1)由题意，知e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)， 所以e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－b2,a2)＝eq \f(1,2)， 所以a2＝2b2.所以a＝eq \r(2)c＝eq \r(2)b. 因为右焦点(c,0)，则eq \f(|2ac－\r(2)|,\r(4a2＋b2))＝eq \f(\r(2),3)， 所以b＝1，所以a2＝2，b2＝1. 故椭圆C的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1. (2)联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－y＋m＝0，,\f(x2,2)＋y2＝1，)) 消去y，可得3x2＋4mx＋2m2－2＝0， 则Δ＝16m2－12(2m2－2)0，解得－eq \r(3)meq \r(3). 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝eq \f(－4m,3)， y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝eq \f(－4m,3)＋2m＝eq \f(2m,3)， 所以MN的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2m,3)，\f(1,3)m))，又MN的中点不在圆x2＋y2＝1内，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2m,3)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,3)))2≥1， 解得m≥eq \f(3\r(5),5)或m≤－eq \f(3\r(5),5). 综上可知－eq \r(3)m≤－eq \f(3\r(5),5)或eq \f(3\r(5),5)≤meq \r(3). 2．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1 (ab0)的左焦点为F1(－1,0)，且点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，\f(1,2)))在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)若过顶点A(－eq \r(2)，0)的直线l1交y轴于点Q，交曲线C于点R，过坐标原点O作直线l2，使得l2∥l1，且l2交曲线C于点S，证明：|AQ|，eq \r(2)|OS|，|AR|成等比数列． 解　(1)因为椭圆C的左焦点为F1(－1,0)，所以c＝1， 将点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，\f(1,2)))代入椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1， 得4b4－3b2－1＝0，即b＝1， 所以a2＝b2＋c2＝2， 所以椭圆C的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1. (2)由题意可知直线l1和l2的斜率都存在且相同， 设直线l1：y＝k(x＋eq \r(2))，则Q(0，eq \r(2)k)， 又直线OS：y＝kx，代入eq \f(x2,2)＋y2＝1， 化简得(1＋2k2)x2＝2， 所以|OS|＝eq \r(1＋k2)|xs－0|， 从而2|OS|2＝2(eq \r(1＋k2)|xs－0|)2＝eq \f(4＋4k2,1＋2k2). 将y＝k(x＋eq \r(2))代入eq \f(x2,2)＋y2＝1， 化简得(1＋2k2)x2＋4eq \r(2)k2x＋4k2－2＝0， 所以|AR|＝eq \r(1＋k2)|xA－xR|＝eq \f(2\r(2＋2k2),1＋2k2)， 又有|AQ|＝eq \r(2＋2k2)， 所以|AQ|·|AR|＝eq \f(4＋4k2,1＋2k2)＝2|OS|2， 所以|AQ|，eq \r(2)|OS|，|AR|成等比数列． 3．如图所示，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(ab0)的上、下顶点分别为A，B，已知点B在直线l：y＝－1上，且椭圆的离心率e＝eq \f(\r(3),2). (1)求椭圆的标准方程； (2)设P是椭圆上