保险精算学课件-第三章.pptVIP

保险精算学 田 乾 tianq@ahstu.edu.cn 第三章 生命表基础 教学要求与重难点 理解常用生命表函数的概率意义及彼此之间的函数关系， 了解生存函数与生命表的关系并掌握寿险生命表的特点与构造原理， 掌握各种分数年龄假定下，分数年龄的生命表函数的估计方法。 重点： 寿险生命表的特点与构造原理 难点： 各种分数年龄假定下，分数年龄的生命表函数的估计方法。 第一节 生命表函数 分布函数 将人从出生到死亡时刻所经历的时间记为X， X为随机变量，定义分布函数： 意义：0岁的人在x岁前死亡的概率 X的概率密度函数为： 平均寿命： 生存函数 定义 意义：新生儿能活到x岁的概率。 与分布函数的关系： 与密度函数的关系： 【例3.1】 用X的分布函数与生存函数表示： （1）0岁的人活不过60岁的概率； （2）0岁的人活过60岁的概率； （3）0岁的人寿命在60岁到80岁之间的概率； （4）60岁的人在未来一年内死亡的概率； （5）60岁的人寿命不超过80岁的概率。 【例3.2】 如果生存函数 ， 求例【3.1】中的值和平均寿命 剩余寿命 定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。 分布函数 ： 剩余寿命 剩余寿命的生存函数 ： 特别： 剩余寿命的密度函数 用fT(t)表示： 剩余寿命的条件概率 ：x岁的人至少能活到x+1岁的概率 ：x岁的人将在1年内去世的概率 ：X岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去世的概率 整值剩余寿命 定义：（x）未来存活的完整年数，简记K（x） 概率函数 死亡力 瞬间的死亡概率，简称死力，用μx表示 死亡力与生存函数关系 瞬间的死亡概率，简称死力，用μx表示 用死亡力表示的剩余寿命的密度函数 瞬间的死亡概率，简称死力，用μx表示 第二节 生命表的构造 生命表的概念 生命表的定义 根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表. 生命表的发展历史 1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过《生命表的自然和政治观察》。这是生命表的最早起源。 1693年，Edmund Halley,《根据Breslau城出生与下葬统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把Halley称为生命表的创始人。 生命表的特点 构造原理简单 数据准确（大样本场合） 不依赖总体分布假定（非参数方法） 生命表的分类 总体分类： 国民生命表 经验生命表 综合生命表 选择生命表 终极生命表 选择-终极生命表 生命表的构造 原理：在大数定律的基础上，用观察数据计算各年龄人群的死亡概率 常用符号： 生存人的年龄：x 新生生命组个体数：l0 生存人数：lx 死亡人数：dx 生命表的构造——lx与dx的关系 lx——初始年龄至满x岁尚生存的人数 dx——x岁的人在未来1年内死亡的人数 ndx——x岁的人在未来n年内死亡的人数 生命表的构造——px与qx的关系 qx——死亡概率，（x）在未来一年死亡的概率： px——生存概率，（x）活过未来一年的概率： 生命表的构造——px与qx的关系 （x）在x+n仍活着和在x+n前死亡的概率为： 生命表的构造——px与qx的关系 （x）存活t年后，在未来u年内死亡的概率： 生命表的构造——平均剩余寿命 完全平均余命——即期望剩余寿命，（x）剩余寿命的期望值 生命表的构造——平均剩余寿命 简单平均余命 生命表的构造——整值余命的期望 （x）整值剩余寿命的期望值（均值） 生命表编制原理 已知人群基数l0和死亡率qx，生命表的编制过程： 选定人群基数l0； 算出x岁的人在一年内的死亡人数dx，dx=lx?qx； 求出lx+1=lx-dx； 重复执行（2）和（3）。 经验死亡率的确定：由大量被保险人的死亡统计资料分别按年龄、性别计算出死亡率。 【例3.3】 已知 　　 计算下面各值： （1） （2）20岁的人在50~55岁死亡的概率。 （3）该人群平均寿命。 选择-终极生命表 选择-终极生命表构造的原因 需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的老成员。 需要构造终极生命表的原因：选择效力会随时间而逐渐消失 第三节 有关分数年龄的假设 有关分数年龄的假设 使用背景： 生命表提供了整数年龄上的寿命分布，但有时需要分数年龄上的生存状况，通常依靠相邻两个整数生存数据，选择某种分数年龄的生存分布假定，估计分数年龄的生存状况 基本原理——插值法 常用方法 均