运筹学17-排队论II-11.pptVIP

例：一个单人理发店，除理发椅外，还有4把椅子可供顾客等候。顾客到达发现没有座位空闲，就不再等待而离去。顾客到达的平均速率为4人/小时，理发的平均时间为10分钟/人。顾客到达服从Poisson流，理发时间服从负指数分布。求： 1、顾客到达不用等待就可理发的概率； 2、理发店里的平均顾客数以及等待理发的平均顾客数； 3、顾客来店理发一次平均花费的时间及平均等待的时间； 4、顾客到达后因客满而离去的概率； 5、增加一张椅子可以减少的顾客损失率。 解 这是一个M/M/1/N/?/FCFS系统，其中N=4+1=5，?=4人/小时，?=6人/小时，?=2/3。 因客满而离去的概率为0.0048 q 当N=6时 P5-P6=0.0480-0.0311=0.0169=1.69% 即增加一张椅子可以减少顾客损失率1.69% 2.3 M/M/1/∞/m模型(顾客源有限的M/M/1模型) 设顾客总数为m。当顾客需要服务时，就进入队列等待；服务完毕后，重新回到顾客源中。如此循环往复 。 服务台 ... 顾客源 需要服务 服务完毕 队列 典型的有限顾客源问题是机器维修问题。有m台机器在运转，每台机器在单位时间内发生故障的平均次数为 ，修理一台机器的平均时间为 ，已修复的机器仍然可能再次发生故障。 与M/M/1/∞/∞模型的区别 系统的状态只有m+1 种：n = 0, 1, ..., m 含义的不同： 在无限顾客源系统中， 表示的是单位时间到达系统的平均顾客数量(顾客到达率)，是整个顾客源的性质，与单个顾客无关； 在有限顾客源系统中， 表示的是系统中的某个顾客在单位时间内需要接受服务的平均次数，是单个顾客的性质，我们假定系统中每个顾客的 是相同的。 顾客到达率： M/M/1/ ∞/∞模型： (与系统所处的状态无关) M/M/1/ ∞/m模型: 状态转移图 0 1 m? ? n-1 n (m-n+1) ? ? (m-n)? ? n+1 . . . . . . m-1 m ? ? . . . (m-1)? ? 2 (m-2)? ? 状态转移平衡方程 注意到 ， 稳态系统各状态的概率分布 系统运行指标： 顾客到达率 = 顾客有效到达率： 由Little公式： 又： 数量指标 队长 队列长 逗留时间 等待时间 正常运转的平均台数 例：某车间有5台机器，每台机器的连续运转时间服从负 指数分布，平均连续运行时间15分钟。有一个修理工，每次修理时间服从负指数分布，平均每次12分钟。求: (1)修理工空闲的概率； (2)五台机器都出故障的概率； (3)出故障的平均台数； (4)等待修理的平均台数: (5)平均停工时间； (6)平均等待修理时间； (7)评价这个系统的运行情况。 解 根据题意，m=5，λ=1/15，μ=1/12，ρ=λ/μ=0.8 ? * 第17讲 排队论II 本讲提纲 1.生灭过程 2.单服务台负指数分布排队系统分析 2.1标准M/M/1模型(M/M/1/∞/∞) 2.2系统容量有限的M/M/1模型(M/M/1/N/∞) 2.3顾客源有限的M/M/1模型(M/M/1/∞/m) 1. 生灭过程(birth and death process ) 生灭过程是常用的随机过程之一，常用来描述生物体的增长和灭亡规律，排队系统中顾客人数的变化规律等。 以N(t)表示t时刻排队系统中的顾客人数(系统状态)，其状态空间J={0,1,2,…}，若满足： 给定N(t) = n，到下一个顾客到达(生)的间隔时间服从参数为 的负指数分布； 给定N(t) = n，到下一个顾客离去(灭)的间隔时间服从参数为 的负指数分布； 在同一时刻只可能发生一个生或一个灭。 则随机过程{N(t)，t≥0}为生灭过程。 根据定义，当系统处于N(t) = n时，下一个顾客到达的平均间隔时间为 ，也即单位时间内到达顾客的平均数为 ，如果单位时间足够小(即t时刻)，则 表示的就是在t时刻下一个顾客到达系统的概率。 类似地， 表示的是在t时刻一个顾客离开系统的概率。 根据上述分析，可画出生灭过程的状态转移图： 要求出系统瞬时状态N(t)的概率分布是很困难的，但当t足够大时，即系统运行一段时间后，达到平衡状态(稳态)，在稳态下，系统的每一状态满足统计平衡规律，即“流入=流出” 0 1 2 n-1 n n+1 Pn (n = 0,1,2,…)为稳态时系统各状态的概率分布 0 1 2 n-1 n n+1 流入=流出 2. 单服务台负指数分布排队系统分析 2.1 M/M/1