第四节　幂函数 2012高考总复习 精品课件.pptVIP

规律总结　幂函数 ，当α0时，在(0，＋∞)上是增函数；当α0时，在(0，＋∞)上是减函数． 　变式训练４　若 的图象在[0, ＋∞)上单调递增，求n. 【解析】　 幂函数 性质 (1)当a＞0时，幂函数 有下列性质： ①图象都通过点(0,0)，(1,1)； ②在第一象限内都是增函数； ③在第一象限内，a＞1时，图象是向下凸的；0＜a＜1时， 图象是向上凸的； ④在第一象限内，过点(1,1)后，图象向右上方无限伸展． (2)当a＜0时，幂函数 有下列性质： ①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的； ③在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近；向右与x轴无限地接近； ④在第一象限内，过点(1,1)后，|a|越大，图象下落的速度越快． 无论a取任何实数，幂函数 的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限． 错解　∵幂函数 单调递减，∴a＋1＞3－2a， 解得 ，∴a的取值范围是 . 错解分析 幂函数 的单调性分两种情况，即有两个单调区间．在上述解法中，误认为只有一个单调区间，而且单调递减． 　 正解　 ∵幂函数 有两个单调区间， ∴根据a＋1和3－2a的正、负情况，有以下关系： 解三个不等式组： . ∴a的取值范围是 . 详 见 Word 文 档 “课时作业” 第四节　幂函数 幂函数的定义及应用 已知幂函数 是偶函数， 且在(0，＋∞)上为增函数，求函数解析式． 分析　利用幂函数的定义，知 ，求得t，再利用t值判定是否满足f(x)的单调性和奇偶性． 解　 因为f(x)是幂函数，由幂函数的概念可得： ，解得t＝－1,1或0. 当t＝0时， 是奇函数，不合题意； 当t＝－1时， 是偶函数，在(0，＋∞)上为增函数； 当t＝1时， 是偶函数，在(0，＋∞)上为增函数． 综上可得， . 规律总结 上述题目考查幂函数的定义，其定义是一个形式： ，幂式前面的系数为1，指数为实常数，注意把握准确．对于其性质可以加以验证，不必从一般意义上进行推测． 变式训练1 已知 ，m为何值时，f(x)同时满足下列条件：①幂函数；②在(0，＋∞)上为减函数？ 【解析】∵f(x)是幂函数， ∴由幂函数的概念可得 ， ∴m＝0或m＝－2. 当m＝0时， ，符合函数在(0，＋∞)上为减函数； 当m＝－2时，f(x)＝x，此函数在(0，＋∞)上为增函数，不符合题意，舍去． ∴m＝0. 幂函数的图象及应用 已知幂函数 的图象与x、y轴都没有公共点，且 的图象关于y轴对称，求m的值． 分析　幂函数 的图象与x、y轴都没有公共点，由幂函数性质可知α＜0，由此确定m的取值范围，再利用函数 的奇偶性求出具体整数． 解　∵幂函数图象与x、y轴都没有公共点， ∴ 解得2＜m＜6. ∵m∈Z，∴m＝3或4或5， 又∵ 的图象关于y轴对称， ∴m－2为偶数，验证可得m＝4. 规律总结　由幂函数的性质推测字母的取值，需要牢记幂函数的图象特征和相应指数的对应关系．先求得字母的取值范围，再检验字母取具体值时，是否满足其余条件． 变式训练２　右图中的曲线是幂函数 在第一象限的图象，已知n取±2、 四个值，则相应的曲线C1、C2、 C3、C4的n值依次为(　　) A． B． C． D． 【解析】根据幂函数 的性质及在第一象限内图象的特征，可得n＞0时，n越大， 增加得就越快，∴ ；当n＜0时，|n|越大，曲线就越陡，∴ ，即 .故选B. 3 4 n n 幂函数的性质及应用 比较下列各组中两个值的大小． 分析　利用两个幂函数 的单调性 进行比较．先说明单调性，再说