第四章第四节 大数定律与中心极限定理 概率论课件.pptVIP

作业 第116-117页习题4－4 1，5，10 作业要求 写出求解过程，问答题要说明原因 不用抄书本上的题目，写清序号即可 概率论中，常把随机变量之和标准化后的分布收敛于正态分布的定理称为中心极限定理. 我们只讨论中心极限定理的几种简单情形. 下面给出独立同分布随机变量序列和的中心极限定理，称作列维一林德伯格（Levy－Lindberg）定理. 定理1（列维一林德伯格定理） 设X1, X2, … 是独立同分布的随机 变量序列, 且 E(X1) = , Var(X1)= ， i=1,2,…，则任给 x∈(-∞, ∞), 均有 上式还有另一记法: 记 有 虽然在一般情况下，我们很难求出X1+X2+ …+Xn 的分布的确切形式，但当n很大时，可以求出近似分布. 第二章中介绍的棣莫佛－拉普拉斯定理 （二项分布的正态近似）是上述定理的特殊 情况. 它表明，当n充分大时，n个具有期望和方差 的独立同分布的r.v之和近似服从正态分布. 定理2 (棣莫佛－拉普拉斯定理） 设随机变量 服从参数n, p(0p1)的二项分布，则对任意x，有 定理表明: 当n很大，0p1是一个定值时(或者说，np(1-p)也不太小时)，二项随机变量 Yn标准化后的分布近似正态分布 N[ np, np(1-p)] . 下面我们举例说明中心极限定理的应用 中心极限定理的客观背景 例:20个0-1分布的和的分布 X1 ~f(x) X1 +X2~g(x) X1 +X2+X3~ h(x) 几个(0,1)上均匀分布的和的分布 0 1 2 3 x f g h 不知大家是否还记得街头赌博的演示? 现在我们用中心极限定理来揭穿这个赌博中的奥秘. 请看演示： 高尔顿钉板试验 高尔顿钉板试验 如图,钉板有n=16层，可以求出标准差 n次碰钉后小球的位置 Yn近似服从正态分布N(0,n). E(Yn)=0, Var(Yn)=n . 左右8颗钉子以内的概率近似为95.6%, 根据正态分布的查表计算知道,落在2 以内即中线 说,落在这以外的概率只有4%左右. 即是 如图钉板有n=16层，可以求出标准差 根据正态分布的查表计算知道,落在2 以内即中线 左右8颗钉子以内的概率近似为95.6%,即是说,落在这以外的概率只有4%左右. 现在你知道为什么摆摊的人敢于 在上面放那么值钱的东西了吧! 设一批产品的强度服从期望为14, 方差为4的分布. 每箱中装有这种产品100件. 求 (1).每箱产品的平均强度超过14.5的概率 是多少. (2).每箱产品的平均强度超过期望14的概 率是多少. n=100,设Xi是第i件产品的强度. E(Xi)=14,Var(Xi)=4,i=1,2,?,100. 每箱产品的平均强度为 解: 例3 根据定理1，有 近似～N(0,1),故 例4 一盒同型号螺丝钉共有 100 个, 已知该型号 的螺丝钉的重量是一个随机变量, 期望值是100g, 标准差是10g, 求一盒螺丝钉的重量超过 10.2kg 的概率. 解 设 为第 个螺丝钉的重量, 且它们之间独立同分布, 于是一盒螺丝钉的重量 为 且由 知 由中心极限定理有 例5 计算机在进行数学计算时, 遵从四舍五入原 则. 为简单计. 现在对小数点后面第一位进行舍 入运算, 则误差 可以认为服从 上的 均匀分布. 若在一项计算中进行了 100 次数字计 算, 求平均误差落在区间 上的 概率. 解 用 表示第 次运算中产生的误差. 相互独立, 都服从 上的 均匀分布, 且 从而 近似 故平均误差 落在 上 的概率为 某市保险公司开办一年人身保险业务.被保险人每年需交付保险费160元. 若一年内发生重大人身事故,其本人或家属可获2万元赔金. 己知该市人员一年内发生重大人身事故的概率为0.005.现有5000人参加此项保险. 求:保险公司一年内从此项业务所得到的总收益在20万元到40万元之间的概率. 解: 例6 ∴ Xi ～ b(1,p), P=0.005, X1,X2 ,? ,X5000 相互独立. 则: P{20万元 ≤ 总收益 ≤ 40万元} = P{20万元 ≤ 0.016万元保险费?参保人数 -2万元赔金?一年内发生重大人身事故的 人数 ≤ 40万元} = P{20≤0.016?5000-2?(X1+X2+?+X500