西安电子科技大学研究生课程随机过程13.pptVIP

* 七 几类重要的随机过程 之前按照参数和状态对随机过程进行了简单的分类. 随机过程可以按照不同的标准进行分类. 本讲按照随机过程所具有的一些性质,介绍几类重要 的随机过程: ◆ 二阶矩过程 ◆ 正态过程 ◆ 正交增量过程 ◆ 独立增量过程 ◆ Wiener过程 ◆ Poisson过程 1.二阶矩过程 定义　若S.P.{X(t),t∈T}的一、二阶矩存在， 则称Ｓ.Ｐ.{X(t),t∈T}是二阶矩过程． 注 二阶矩过程的均值函数与相关函数一定存在 可利用均值函数和相关函数讨论二阶矩阵过程 的性质.(下章内容) 二阶矩过程的相关函数具有以下性质 定理 设{X(t),t∈T}是二阶矩过程,则相关函数RX(s,t)有 (1)共轭对称性 RX(s,t)=RX(t,s) (2)非负定性 对任意 t1,t2,…,tn∈T,任意复数 λ1 ,λ2,…, λn有 证明 (1) RX(s,t)=E[X(s)X(t)] =E[X(s)X(t)] = RX(t,s) (2) 2.正态过程 补充: n维正态随机变量分布及性质 正态过程定义 设{X(t),t∈T}是S.P. ,若对任意的n≥1 及t1,t2,…,tn∈T, {X(t1), X(t2), …, X(tn),}是n维正态随机变量, 则称S.P.{X(t),t∈T}为正态过程或高斯过程 注意 若{X(t),t∈T}是一族正态随机变量, 但{X(t),t∈T}不一定是正态过程. (2) 正态过程的有限维分布由其均值函数 与相关函数完全确定. (3) 正态过程是二阶矩过程. 举例 独立的r.v.，且都服从正态分布N(0,σ2),ω是常数． 设S.P. 试证明 该过程是正态过程，并求它的有限维分布． ,其中A,B为相互 3.正交增量过程 定义 设{X(t),t∈T}是二阶矩过程，若对任意的 t1t2 ≤ t3 t4∈T 都有 则称S.P. {X(t),t∈T}是一正交增量过程. 注: 这里 X,Y=E[XY]可视为内积 若T取为有限区间[a,b],对　　　 特别的，当X(a)=0时，有 定理 设{X(t),t∈[a,b]}是正交增量过程, 且X(a)=0,则 (2) ΦX(t)是单调不减函数 (1) 4 独立增量过程 设{X(t),t∈T}是一是S.P. 如果对　　　　　 是相互独立的随机变量，则称{X(t),t∈T}是独立增量过程． 以及 有 如果对于任意 st∈T, X(t)-X(s)的分布仅依赖于t-s，而与s, t本身取值无关，则称{X(t),t∈T} 为平稳增量过程． 如果S.P.{X(t),t∈T}既是平稳增量过程，又是独立增量过程，则称{X(t),t∈T} 为平稳的独立增量过程． 定理 独立增量过程的有限维分布函数由其一维分布函数和增量分布函数确定． 证明思路 由于随机变量的分布函数与特征函数一一对应. 只需证 独立增量过程的有限维特征函数由其一维特征 函数和增量特征函数确定． 证明 n维随机变量的 的特征函数为 令 则 ① 代入①式 由题意知 Y1,Y2,…,Yn独立