常微分方程教学（广东外语外贸大学）4.1.pptVIP

第四章 高阶微分方程 北京理工大学 §1 线性微分方程的一般理论 线性微分方程的一般概念； 齐次线性微分方程的解的性质与结构； 非齐次线性微分方程与常数变易法； 作业：习题4.1 1; 3.(1),(3),(5); 4; * * 一阶线性微分方程： n-阶线性(非齐次)微分方程： n-阶线性(齐次)微分方程： 一、 线性微分方程的一般概念 一阶微分方程解的存在唯一性定理： 定理: 若 在D上连续且关于y满足局部Lipschitz条件; 则在D上任何一点的某一领域中， 方程 有唯一解。 n-阶线性微分方程解的存在唯一性定理 ： 定理1 若 以及 在 上连续;则对线性微分方程 在 上每一点和初始条件 存在唯一解. 二、齐次线性微分方程的解的性质与结构 线性微分算子: 性质: 1. 若k=const, 则 常数可以从微分号下提出 2. 和的导数等于导数的和 根据上面的两条性质可得齐次线性微分方程的 解的叠加定理。 定理2: 若 为n阶线性齐次微分方程 的k个解，则它们的线性组合 也是方程(*)的一个解. （*） （**） 当k=n时，方程(*)有解(**)，它含有n个任意常数， 那么，在什么条件下，(**)能成为(*)的通解呢？ 它具有什么样的性质？ 定义1 线性相关: 函数组 称为在区间 上是线性相关的 若存在不全为零的常数 ,使得 在 其上恒成立. 否则，称为线性无关 不线性相关。 性质: 1.一个函数 线性相关，则 2. 两个函数线性相关 两者之比为定比. 3. 部分线性相关则一定有全体线性相关. 朗斯基行列式(Wronski行列式)： 注：逆定理一般不成立，即：朗斯基行列式为0，不一定 线性相关。 例 函数 和 虽然 但是它们在[-1,1]上线性无关。 反证法：假设它们线性相关，则存在不全为零的常数使得 与假设矛盾，故它们线性无关。 线性相关 推论 若n个函数 为线性微分方程 的解,且在某一点 处满足 基本解组: n阶线性微分方程 定义在(a, b)上的n个线性无关的解. 定理5: n阶齐次线性微分方程 一定存在n个 线性无关的解. 定理6（通解结构定理）如果 为n阶齐次线性微分方程 的一个基本解组, 那么它的通解 其中 为任意常数。 三、非齐次线性方程与常数变易法 n-阶线性非齐次微分方程： 利用线性微分算子可记为: 注：1. 要解非齐次线性微分方程，只需知道它的 一个解和对应的齐次线性微分方程的基本解组。 2. 只要知道对应的齐次线性微分方程的基本解 组，可以利用常数变易法求得非齐次线性微分方程 的解。 （1） （2） 若（2）的通解为 则设（1）的特解为 非齐次线性方程通解求法------常数变易法 非齐次线性方程通解求法------常数变易法 设对应齐次方程通解为 (3) 设非齐次方程的特解为 设 (4) (5) (4),(5)联立方程组 积分可得 非齐次方程通解为 例1 求方程 的通解，已知它的对应 齐次线性微分方程的基本解组为 。 解：应用常数变易法，令 将其代入方程可得 解得： 两边积分可得： 于是，原方程的通解为 其中， 为任意常数。 解:应用常数变易法，对应齐次方程的通解为 例2 设原方程的特解为 将其代入方程可得 解得 原方程的通解为 解:对应齐次线性微分方程为 例3 设原方程的解为 易见，其一基本解组为 将其代入方程可得 解得 原方程的通解为 刘维尔公式 解：