常微分方程教学（广东外语外贸大学）拉普拉斯变换及应用.pptVIP

* 1 拉普拉斯变换的定义 拉普拉斯变换 2 拉普拉斯变换的性质 3 拉普拉斯反变换 1 拉普拉斯变换的定义 拉氏变换法是一种数学上的积分变换方法，可将时域的高阶微分方程变换为频域的代数方程来求解。 时域微分方程 频域代数方程 拉氏变换 拉氏逆变换 求解 时域解 拉氏变换定义：一个定义在[0，∞）区间的函数 f(t)，它的拉氏变换定义为： 式中：s =? + j? (复数) f(t) 称为原函数，是 t 的函数。 F(s) 称为象函数，是s 的函数。 拉氏变换存在条件：对于一个函数f(t)，若存在正的有限值M和c，使得对于所有t 满足： 则f(t)的拉氏变换F(s)总存在。 傅立叶变换 拉氏反变换：如果F(s)已知，由F(s)到f(t)的变换称为拉氏反变换，它定义为： 特殊情况：当? =0，s=j?，且积分下限为－∞时，拉氏变换就是傅立叶变换 (2)单位阶跃函数 (1)指数函数 (3)单位冲激函数 例1 求以下函数的象函数。 2 拉普拉斯变换的基本性质 一、线性 例2 若： 上述函数的定义域为[0， ∞)，求其象函数。 二 、导数性质 1. 时域导数性质 例3 应用导数性质求下列函数的象函数： 推广： 2.频域导数性质 三、积分性质 四、延迟性质 1.时域延迟 f(t)?(t) t t f(t-t0)?(t-t0) t0 f(t)?(t-t0) t t0 例5 求图示矩形脉冲的象函数 1 T t f(t) T T f(t) 2、频域平移性质 积分 小结： 微分 3 拉普拉斯反变换 由象函数求原函数的方法： (1)利用公式 (2)对F(S)进行部分分式展开 象函数的一般形式： 利用部分分式F(S)分解为：