概率与统计第五章课件课.ppt

下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近. 定理7（李雅普诺夫Liapunov定理）设随机变量 X1，X2，…，Xn ，…相互独立，且 若存在? 0，使得 则对任意的x，有 对于相互独立但不同分布的随机变量和的分布的极限问题, 有李雅普诺夫中心极限定理。 不难看出，当n很大时， 近似服从标准正态分布N(0，1)，也即 近似服从正态分布： 三、小结 三个中心极限定理 独立同分布的中心极限定理 李雅普诺夫定理 德莫佛－拉普拉斯定理 中心极限定理表明, 在相当一般的条件下, 当独立随机变量的个数增加时, 其和的分布趋于正态分布. * * * * * * * * * * * * * * 第五章 大数定律与中心极限定理 5.1 大数定律 5.2 中心极限定理 第一章引入概率概念时，曾经指出，事件发 生的频率在一、二次或少数次试验中具有随机性 的，但随着试验次数n的增大，频率将会逐渐稳 定且趋近于概率。特别，当n很大时，频率与概 率会非常“接近”的。这个非常“接近”是什么意思？ 这与高等数学中的极限概念有否联系？本章将从 理论上讨论这一问题。 问题的引入 第一节 大数定律 定理1 设随机变量的数学期望EX=? ，方差DX=? 2，则对任意的正数?，不等式 (1) 成立。这个不等式称为切比雪夫(Cheby shev)不等式。 证 我们仅就连续型随机变量情形加以证明。 设X的概率密度为 f(x)，于是 式(1)表明当DX很小时，概率P{|X-EX|≥?} 更小。 这就是说在上述条件下，随机变量X落入EX的?邻域 之外的可能性很小，也即落入EX的?邻域内可能性 很大。由此说明X的取值比较集中，也即离散程度较 小，这正是方差的意义所在。 切比雪夫不等式在理论研究和实际应用中都有很重要的价值。 (1) 切比雪夫不等式也可以写成如下等价形式 定理2 （伯努利(Bernoulli)大数定律）设 是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对任意正数 0，有 或 证 令 则X1，X2，…，Xn是n个相互独立的随机变量，且 易知 于是， 由切比雪夫不等式得 又由X1，X2，…，Xn的独立性可知 从而有 上述伯努利大数定律从理论上给出了频率“接近”概率这种“现象”的更加确切的含意，它反映了大数次重复试验下随机现象所呈现的统计规律性。 设Y1，Y2，…，Yn，…是一个随机变量序列，a是一个常数，若对任意的正数 ，有 则称随机变量序列{Yn}依概率收敛于a，记作 定理2′ 是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则 定理3（切比雪夫大数定律）设X1，X2，…，Xn，…是相互独立的随机变量序列，又设它们的方差有界，即存在常数c0，使得 则对任意的 0，有 证明（略） 或 伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例, 在它们的证明中, 都是以切比雪夫不等式为基础的, 所以要求随机变量具有方差。但进一步的研究表明，方差存在这个条件并不是必要的。即有下面的独立同分布的辛钦大数定律。 定理4 (辛钦(ХИНЧИН)大数定律)设X1，X2，…，Xn，…是相互独立的随机变量序列，且数学期望存在: 则对任意的 0，有 证明（略） 这就为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径。 伯努利大数定律说明了当n很大时，事件发生的频率会非常“接近”概率，而这里的辛钦大数定律则表明，当n很大时，随机变量X在n次观察中的算术平均值 也会“接近”它的期望值，即 小结 三个大数定理 切比雪夫定理的特殊情况 伯努利大数定理 辛钦定理 　　频率的稳定性是概率定义的客观基础, 而伯努利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳定性. 第二节 中心极限定理 一、问题的引入 二、基本定理 三、小结 一、问题的引入 在第二章介绍正态分布时曾经特别强调了它在概率论与数理统计中的地位与作用，为什么会有许多随机变量遵循正态分布？仅仅是经验猜测还是确有理论根据？这当然是一个需要弄清的问题。 实践表明，客观实际中有很多随机变量，它们往往是由大量的相互独立的随机因素的综合作用所形成的。而其中每一个别因素在总的影响中所起的作用是微小的。 下面将要介绍的中心极限定理从理论上阐明了这样的随机变量总是近似地服从正态分布的。 定理5（独立同分布中心极限定理）设