第4章 信息传输与信息编码 信息管理原理与方法(第2版）教学课件.pptVIP

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 定理4.2 设C是码长为 n 的二元码。 （1）若 d(C)≥ t+1，则C是可以检查 t 个差错的检错码； 若 d(C) = t+1，则C是不能检查 t+1个差错的检错码； （2）若 d(C)≥ 2t+1，则C是可以纠正 t 个差错的纠错码； 若 d(C) = 2t+1，则C是不能纠正 t+1个错误的纠错码。 几何分析： 图 4.9 检（纠）错能力的几何解释 （b） A B 1 t t d0 A B 1 （c） e d0 t A B （a） e d0 1 4.2 信道编码 4.3.1 有限域上的线性空间 是二元域F2上的 n 维线性空间。 定义4.4 设C是F2上n维线性空间V的非空子集，如果C也是F2上的线性空间，则称C是V 的线性子空间，简称子空间。 线性代数中已经证明，线性空间V的子集C是线性子空间的充要条件：任给X，Y∈C，任给k1，k2∈F2，都有k1X＋k2Y∈C。 容易证明，在F2上一个向量组C是线性子空间的充要条件是：含有零元，并且对C中任意两个非零向量之和封闭（即?α1，α2∈C，α1?0，α2?0，都有α1＋α2∈C）。 4.3 二元线性码 维的概念 例如，C1={(0,0),(0,1)}是 的子空间，而且是一维子空间；而 C2={(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1)}是 的子空间，而且是二维子空间。 这里要注意，一个子空间的维数是由该子空间的极大无关组中所含向量的个数决定的，通常并不等于向量（码字）的码长。而一个子空间的极大无关组通常由其所有向量构成的矩阵进行初等行变换来确定。 例如，C1={(0,0)}是F2上的0维线性空间， C2={(0,0,0),(1,1,1)}是F2上的1维线性空间 定义4.5 设 , ,称 为 X 与Y 的内积；如果 X?Y=0，则称 X 与 Y 正交。 4.3 二元线性码 定理 4. 3 设C是F2上线性空间的子空间，令 则C⊥是 的子空间（称为C的正交补子空间），且 。 例如，C={(0,0),(0,1)}是 的1维子空间，它的正交补子空间 为{(0,0),(1,0)}，且 4.3 二元线性码 4.3.2 线性码的生成矩阵与校验矩阵 定义4. 6 称 的任一子空间C是长为n的线性码，并称子空间C的维数为线性码C的维数，仍记为dimC。并记长为n，维数为k 的线性码为[n,k]线性码。 设C⊥是线性空间 的子空间C的正交补子空间，则 也是长为 n 的线性码，称 C⊥ 是线性码C 的对偶码；当 C⊥ =C 时，称C是自对偶码。 定理4. 4 设C是长为n 的二元线性码，则 (1) C 恰好含有M=2dimC 个码字； (2) 当C是自对偶码时， 。 4.3 二元线性码 定义4. 7 设C是F2上的线性码，a1, a2, ···, ak 是C在F2上的一 组基，称 为 [n,k]线性码的生成矩阵。 设h1=(h11,h12,…,h1n), ··· , hn-k=(hn-k,1, hn-k,2, ···, hn-k, n) 是C⊥的基， 则 是C⊥ 的生成矩阵。 4.3 二元线性码 定理4.5 设C是[n,k]线性码， 是C的对偶码C⊥ 的生成矩阵