第3章 多维随机变量及其分布 概率论与数理统计教程配套课件.pptVIP

第三章 多维随机变量及其分布 §3.1 多维随机变量及其联合分布 3.3.1 多维随机变量 定义3.1.1 若X, Y是两个定义在同一个样本空间上的 随机变量，则称(X, Y) 是两维随机变量. 同理可定义 n 维随机变量 (随机向量). 3.1.2 联合分布函数 定义3.1.2 联合分布函数的基本性质 3.1.3 联合分布列 二维离散随机变量 二维离散分布的联合分布列 联合分布列的基本性质 确定联合分布列的方法 课堂练习 3.1.4 联合密度函数 设二维随机变量(X, Y) 的分布函数为 F(x, y)，若存在非负可积函数 p(x, y)，使得 联合密度函数的基本性质 3.1.5 常用多维分布 一、多项分布 二、多维超几何分布 三、二维均匀分布 四、二维正态分布 例3.1.3 例3.1.4 例3.1.5 §3.2 边际分布与随机变量的独立性 3.2.1 边际分布函数 3.2.2 边际分布列 3.2.3 边际密度函数 注 意 点 (1) 由联合分布可以求出边际分布. 但由边际分布一般无法求出联合分布. 所以联合分布包含更多的信息. 注 意 点 (2) 二维正态分布的边际分布是一维正态： 若 (X, Y) ? N ( )， 3.2.4 随机变量间的独立性 若满足以下之一: i) F(x, y) = FX(x)FY(y) ii) pij = pipj iii) p(x, y) = pX(x)pY(y) 则称 X 与Y 是独立的， 注 意 点 (1) X 与Y是独立的其本质是： 例3.2.3 例3.2.4 注 意 点 (1) 注 意 点 (2) §3.3 多维随机变量函数的分布 3.3.1 多维离散随机变量函数的分布 (1) 设(X1, X2, ……, Xn) 是n维离散随机变量， 则 Z = g(X1, ……, Xn) 是一维离散随机变量. 3.3.2 最大值与最小值分布 一般情况 设 X1, X2, …… Xn, 独立同分布，其分布函数和密度函数分别为 FX(x) 和 pX(x). 3.3.3 连续场合的卷积公式 离散场合的卷积公式 卷积公式的应用 分布的可加性 二项分布的可加性 泊松分布的可加性 正态分布的可加性 独立正态变量的线性组合仍为正态变量 伽玛分布的可加性 ?2 分布的可加性 注 意 点 3.3.4 变量变换法 变量变换法的具体步骤 增补变量法 §3.4 多维随机变量的特征数 本节主要给出 X 与 Y 的相关系数 3.4.1 多维随机变量函数的数学期望 3.4.2 数学期望与方差的运算性质 讨论 X+Y 的方差 3.4.3 协方差 协方差的性质 课堂练习1 X 与 Y 独立，Var(X) = 6，Var(Y) = 3， 则 Var(2X?Y) = ( ). 课堂练习2 X ~ P(2)，Y ~ N(?2, 4)， X与Y独立， 则 E( X?Y) = ( ); E( X?Y)2 = ( ). 配对模型的数学期望和方差 解：记 “Xi = 1” = “第 i 个人拿对自己的礼物” “Xi = 0” = “第 i 个人未拿对自己的礼物” 3.4.4 相关系数 注 意 点 若记 相关系数的性质(1) 相关系数的性质(2) 注 意 点 Corr(X, Y) 的大小反映了X与Y之间的线性关系： 3.4.5 随机向量的数学期望与协方差阵 协方差阵的性质 定理3.4.2 协方差阵对称、非负定. 注 意 点 称 课堂练习1 设 X ~ N(0, 1), Y ~ N(0, 1), Var(X?Y) = 0, 求 (X, Y) 的协差阵 ? . 课堂练习2 设 X, Y 的协差阵为 §3.5 条件分布与条件期望 对二维随机变量(X, Y), 在给定Y取某个值的条件下, X的分布; 在给定X取某个值的条件下, Y的分布. 3.5.1 条件分布 (1) 条件分布列： (3) 条件分布函数： 3.5.2 条件数学期望 注 意 点 E(X| Y=y) 是 y 的函数. 重期望公式 定理 3.4.1 设 (X, Y) 是二维随机变量，