第2章 解析函数 复变函数与积分变换 教学课件.pptVIP

第2章 解析函数 2.1 解析函数的概念 2.1.1 复变函数的导数与微分 1、 复变函数的导数 定义1 设函数 在包含 的某区域 内有定义，当变量 在点 处取得增量 时，相应地，函数 取得增量 若极限 （或 ） （2.1） 存在，则称 在点 处可导， 此极限值称为 在点 处的导数，记作 或 ，即 如果函数 在区域 内每一点都可导，则称 在 内可导. 2、 可导与连续的关系 若函数 在点 处可导，则 在点 处必连续. 证　因为 知 ，故 在点 处连续. 反之，函数 在 连续却未必在 可导，例如，例3中的函数 在复平面内处处连续却处处不可导. 3、 复变函数的微分 定义2 称函数 的改变量 的线性部分 为函数 在点 处的微分，记作 或 ，即 2.1.4 导数运算法则 复变函数的求导法则（以下出现的函数均假设可导）： （1） 其中 为复常数； （2） 其中 为正整数； （3） ； （6） ； （7） 是两个互为反函数的单值函数，且 .  2.2 解析函数 2.2.1解析函数的定义及其性质 1. 解析函数的定义 定义3 如果函数 不仅在点 处可导，而且在点 的某邻域内的每一点都可导，则称 在点 处解析，并称点 是函数的解析点；如果函数 在区域 内每一点都解析，则称 在区域 内解析或称 为区域 内的解析函数，区域 称为 的解析区域. 2. 解析函数的运算性质： （1）若函数 和 在区域 内解析， 则 、 、 在 内也解析； （2）若函数 在区域 内解析，而 在区域 内解析，且 ，则复合函数 在 内也解析，且. 2.2.2函数解析的充要条件 定理１ 设函数 在区域 内有定义，则 在 内可导的充分必要条件为 在 内任一点 处 （1）可微； （2）满足 上式称为柯西—黎曼（Cauchy-Riemann）条件（或方程），简称C—R条件（或方程）. 定理２ 函数 在区域 内解析的充要条件为 （1） 在 内连续； （2） 在 内满足C—R条件 ， 这四个偏导数虽然处处连续，但C—R条 件仅在原点处成立，因而函数 在复平面内的原点处可导，其它点不可导， 可知该函数在复平面上处处不解析. 2.3 初等函数