第1章 误差 计算方法 《代码优化》课件.pptVIP

第1章 误差 §1 误差 §2 数的表示及运算 §3 算术运算结果的误差 §4 算法的数值稳定性 §1 误差 1.1误差的来源 用数值计算方法解决科学技术中的实际问题,必须首先建立数学模型。而数学模型又只能在感性认识的基础上,抓住主要因素,忽略次要因素的情况下获得,故只能近似地描述所给的实际问题,其与实际问题之间有一定的差异,从而出现误差。这种误差称之为“模型误差”。 在数学模型中,常常包含了若干参变量,如比重、加速度、阻力系数等,这些量一般是通过观测得来的,而观测的结果不可能绝对准确,因而就产生了误差。这种误差通常称为“量测误差”。 例 设某金属棒在温度t时的长度为lt(0℃时金属棒的长度为l0),则 lt≈Lt=l0(1+αt+βt2) ? 这里l0≡1,α、β为参数,可估计为 α=0.001253±10-6 β=0.000068±10-6 于是知,lt-Lt为模型误差,10-6是观测α、β而产生的误差,因此为量测误差。 在计算过程中,我们常用收敛无穷级数的前几项代替无穷级数,即抛弃了无穷级数的后段。这样得到的误差称为“截断误差”。 1.2 绝对误差和绝对误差限 定义假设某一量的准确值为x,近似值为x,则x与x之差 的绝对误差(简称误差),记为ε(x),即 ε(x)=x-x* (1―1) ｜ε(x)｜的大小标志着x的精确度。一般地,在同一量的不同近似值中,｜ε(x)｜越小,x的精确度越高。 由于准确值x一般不能得到,于是误差ε(x)的准确值也无法求得,但在实际测量或计算时,可根据具体情况事先估计出它的大小范围。也就是指定一个适当小的正数ξ,使得 |ε(x)|=｜x-x*｜≤ξ (1―2) 我们称ξ为近似值x的绝对误差限。有时也用 ? x=x*±ξ (1―3) 表示近似值的精度或准确值的所在范围。在实际问题中,绝对误差一般是有量纲的。例如测得某一物件的长度为5m,其误差限为0.01m,通常将准确长度s记为 ? s=5±0.01 ? 即准确值在5m左右,但不超过0.01m的误差限。 1.3 相对误差和相对误差限 绝对误差并不足以表示近似值的好坏。例如设 ?x1=100±1 x2=1000±1 ? 近似值x*1=100的绝对误差限与x*2=1000的绝对误差限相同,不过100的误差为1与1000的误差为1比较,后者应比前者精确。 定义 我们把绝对误差与准确值之比 称为x*的相对误差。由于准确值x往往是不知道的,因此在实际问题中,常取 由式(1―4)可知,相对误差可以由绝对误差求出;反之,绝对误差也可由相对误差求出。其关系是 ? ε(x)=xεr(x) (1―5) ?在讨论对近似值进行运算结果的误差分析时,相对误差更能反映出误差的特征。因此在误差分析中相对误差比绝对误差显得更为重要。 在实际计算中,由于ε(x)与x都不能准确地求得,因此相对误差εr(x)也不可能准确地得到,于是也像绝对误差那样,只能估计它的大小范围。即指定一个适当小的正数η,使 称η为近似值x*的相对误差限。 例1 给定 g(x)=107(1-cosx),试用四位数学用表求g(2°)的近似值。 解 甲用下列步骤解题:由于 co