正弦定理 高中数学必修五课件.pptVIP

* 正弦定理 复习三角形中的边角关系 1、角的关系 2、边的关系 3、边角关系 大角对大边 （一）三角形中的边角关系 （二）直角三角形中的边角关系 （角C为直角） 1、角的关系 2、边的关系 3、边角关系 情境设计： 一艘轮船按照北偏西300的方向从A地出以28 海里每小时的速度航行,一个灯塔M原来在轮 船的北偏东100方向上，经过40分钟到达B 地，测得灯塔在轮船的北偏东700方向上求轮 船和灯塔原来的距离AM 分析：问题的实质是：已知三角形中两角及其夹边， 求其他边的问题 回忆一下直角三角形的边角关系? A B C c b a 两等式间有联系吗？ 即正弦定理，定理对任意三角形均成立． 利用向量如何在三角形的边长与三角函数之间 建立联系？ 探索：直角三角形的边角关系式对任意三角形是否成立？ （方法一） （方法二） 向量的数量积 ， 为向量a 与b 的夹角． 如何构造向量及等式？ j A C B 在锐角 中，过A作单位向量j 垂直于 ， 则有j 与 的夹角为 ， j 与 的夹角为 . 等式 怎样建立三角形中边和角间的关系？ 即 同理，过C作单位向量j 垂直于 ，可得 在钝角三角形中，怎样将三角形的边用向量表示？怎样引 入单位向量？怎样取数量积？ j A C B 在钝角 中，过A作单位向量j 垂直于 ， 则有j 与 的夹角为 ， j 与 的夹角为 . 等式 . 同样可证得： ， （方法三）（传统证法）在任意斜△ABC当中： S△ABC= 两边同除以 即得： = = 正弦定理的推论： A B D C . O b a c =2R (R为△ABC外接圆半径） 证明：如图，圆⊙O为△ABC的外接圆， BD为直径, 则 ∠A=∠D, ∴ =2R (R为△ABC外接圆半径） （方法四） 正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比 相等，即 正弦定理可以解什么类型的三角形问题？ 1. 已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角； 2.已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。 例题讲解 例1 在 中，已知 ，求b（保 留两个有效数字）. 解：∵ 且 思考：已知两边和其中一边的对角，三角形是否存在？ 若存在是否唯一？ 例2 在 中，已知 ，求 。 例题讲解 解：由 得 ∵ 在 中 ∴ A 为锐角 注意：大边对大角 变式练习 思考： 三角形的情况： b a C A B 无解 当A为锐角 当A为钝角 A C B b a 无解 例3.已知△ABC，BＤ为角B的平分线， 求证：AB∶BC＝AＤ∶ＤC B C D A 练习： （1）在 中，一定成立的等式是（ ） C （2）在 中，若 ，则 是( ) A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三有形 D