拟合 最小二乘法 数学软件与数学实验 教学课件.pptVIP

多项式拟合算法 (*polynomial,base function:1,x,x^2,...,x^m*) Clear[xi,yi,n,t1,m,s,a,b,xx,g,fa,p,t2] xi=Input[xi=] yi=Input[yi=] n=Length[xi]; t1=ListPlot[Table[{xi[[i]],yi[[i]]},{i,1,n}],PlotStyle-PointSize[0.04]] m=Input[polynomial degree:m=] s=Table[Sum[xi[[k]]^i,{k,1,n}],{i,0,2m}]; a=Table[s[[i+j-1]],{i,1,m+1},{j,1,m+1}]; Print[a=,MatrixForm[a]] b=Table[Sum[xi[[k]]^i*yi[[k]],{k,1,n}],{i,0,m}]; Print[b=,MatrixForm[b]] xx=Array[x,m+1]; g=Solve[a.xx==b,xx] fa=Sum[x[i]*t^(i-1),{i,1,m+1}]/.g[[1]]; p=fa//N t2=Plot[p,{t,xi[[1]],xi[[n]]},DisplayFunction-Identity]; Show[{t1,t2},DisplayFunction-$DisplayFunction] 例:已知一组实验数据 x 1 3 4 5 6 7 8 9 10 f(x) 10 5 4 2 1 1 2 3 4 用多项式拟合求其拟合曲线。 解：执行m次多项式拟合程序后，在输入的两个窗口中按提示分别输入 {1,3,4,5,6,7,8,9,10}，{10,5,4,2,1,1,2,3,4} 每次输入后用鼠标点击窗口的“OK”按扭，计算机在屏幕上画出散点图。 由于该散点图具有2次多项式形状，因此在确定选择多项式次数窗口输入2，按OK”按扭后得如下输出结果。 a= 9 53 381 53 381 3017 381 3017 25317 b=32 147 1025 13.3017 - 3.45527 t + 0.253052 t2 于是求得二次多项式拟合函数为 ?(t)=13.4597 - 3.60531 t + 0.267571 t2 而且从图形上看拟合效果很好。 * * Mathematica 在数值分析 中的应用 数 据 拟 合 最小二乘法 已知一组（二维）数据，即平面上 n个点（xi,yi) i=1,…n, 寻求一个函数（曲线）y=f(x), 使 f(x) 在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。 + + + + + + + + + x y y=f(x) (xi, yi) ?i ?i 为点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离 一、曲线拟合的一般提法 确定a1,a2, …am 的准则（最小二乘准则）： 使n个点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离?i 的平方和最小 。 记 问题归结为，求 a1,a2, …am 使 J(a1,a2, …am) 最小。 先选定一组函数 r1(x), r2(x), …rm(x), mn, 令 其中 a1,a2, …am 为待定系数。 二、曲线拟合的常用解法 记 当RTR可逆时，（4）有唯一解： 三、线性最小二乘法的求解 怎样选择 {r1(x), …rm(x)}， 以保证系数{a1,…am} 有唯一解？ {a1,…am}有唯一解 ? RTR可逆 ?Rank(RTR)=m ? Rank(R)=m ? R列满秩 ? {r1(x), …rm(x)}线性无关 见MATH程序 思考 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + f=a1+a2x 将数据 (xi,yi) i=1, …n 作图，通过直观判断确定 f(x)： f=a1+a2x+a3x2 f=a1+a2x+a3x2 f=a1+a2/x f=a1exp(a2x) f=a1exp(a2x) 四、 的选取 曲线拟合 语句：Fit[{f1,f2,…},{1,x},x] 设变量为x，进行线性拟合 语句：Fit[{f1,f2,…},{1,x,x^2},x] 二次多项式拟合 语句：Fit[{f1,f2…},Table[x^i,{1,0,i}],x] n阶多项式拟合 语句：Fit[data