数值线性代数八讲.pdfVIP

第一讲 若干知识点补充 1.复向量与复矩阵 我们分别称元素全为实数的向量和矩阵为实向量与实矩阵。相应的，我们称 元素全为复数的向量和矩阵为复向量和复矩阵。n 维实向量和复向量的全体分别 记为R n 和Cn 。(若不加以说明，我们都指行向量) m ×n 阶实矩阵和复矩阵的全 体分别记为R m×n 和Cm×n 。显然，R n 为Cn 的一个真子集，R m×n 为Cm×n 的一个真子 集。 复向量，复矩阵的绝大多数理论，例如：矩阵的运算及其规律，矩阵的初等 变换，矩阵的行列式，矩阵的逆，矩阵的秩，向量组的线性相关性，线性方程组， 特征值问题等，均可平行地移到复矩阵中。 1 i 1 i 2 i 3 4i ⎛ + ⎞ ⎛ + − + ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 例 1.a ⎜ 2 ⎟为3维复向量，A ⎜ 5 0 i ⎟为3阶复矩阵。 ⎜2 −3 ⎟ ⎜3 + 2 1 ⎟ ⎝ i ⎠ ⎝ i ⎠ 对于一个矩阵，我们将其每个元素均取共轭，再将所得的矩阵作转置(或先 转置，后共轭，结果一样)，所得的矩阵称为原矩阵的共轭转置矩阵，也简称共 轭转置。矩阵A 的共轭转置矩阵记为AH 。设A (a ) ，则AH (a ) 。显然， ji n m ij m×n × 一阶矩阵，即一个数，其共轭转置即其共轭复数。对于实矩阵，其共轭转置与转 置是一样的。但是对于复矩阵，我们更关心的是它的共轭转置。 我们称 A 每个元素取共轭后的矩阵为 A 的共轭矩阵，记为A 。这样， AH (A)T AT 。显然，共轭运算具有性质： (1) A +B A =+B ； (2) kA k A ； (3) AB AB ； 这可以利用复数运算性质直接得到验证。 我们指出，矩阵的共轭转置有如下性质： (1) (AH )H A (2) (A +B )H AH =+B H (3) (kA)H kAH (4) (AB )H B H AH (5) AH A ，A 为方阵 (6) (AH )−1 (A−1)H ，A 为可逆矩阵 证明：证明都很容易。这里说下第3条性质。 T T (AB )H (AB )T (AB )T B A B H A H ⎛ 1+i ⎞ ⎜ ⎟ H 例 2. a ⎜ 2 ⎟，则a (1=−i,2, −3 −2i) 。 ⎜⎝2i −3 ⎟⎠ ⎛1+i 2−i 3+4i ⎞ ⎛1−i 2+i 3−4i ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A ⎜ 5 0 i ⎟，则A ⎜ 5 0 =−i ⎟。 ⎜⎝3 +i 2 1 ⎟⎠ ⎜⎝3 −i 2 1 ⎟⎠ 设A 为一个方阵，如果AH A I (当然就有AAH I )，我们称A 为酉矩阵。 对于实数情形，酉矩阵即我们所说的正交矩阵。显然，1维的酉矩阵为单位复数。 酉矩阵的逆即其共轭转置。 同阶酉矩阵的