学案等差数列及其前n项和.doc

等差数列及其前n项和 一、等差数列的有关概念 1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(nN*，d为常数)． 2．等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项． 二、等差数列的有关公式 1．通项公式：an＝a1＋(n－1)d. 2．前n项和公式：Sn＝na1＋d＝. 三、等差数列的性质 1．若m，n，p，qN*，且m＋n＝p＋q，{an}为等差数列，则am＋an＝ap＋aq. 2．在等差数列{an}中，ak，a2k，a3k，a4k，…仍为等差数列，公差为kd. 3．若{an}为等差数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍为等差数列，公差为n2d. 4．等差数列的增减性：d0时为递增数列，且当a10时前n项和Sn有最小值．d0时为递减数列，且当a10时前n项和Sn有最大值． 5．等差数列{an}的首项是a1，公差为d.若其前n项之和可以写成Sn＝An2＋Bn，则A＝，B＝a1－，当d≠0时它表示二次函数，数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn是{an}成等差数列的充要条件． .与前n项和有关的三类问题 (1)知三求二：已知a1、d、n、an、Sn中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想． (2)Sn＝n2＋n＝An2＋Bnd＝2A. (3)利用二次函数的图象确定Sn的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最小值． ．设元与解题的技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…； 若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元． 证明{an}为等差数列的方法： (1)用定义证明：an－an－1＝d(d为常数，n≥2){an}为等差数列； (2)用等差中项证明：2an＋1＝an＋an＋2{an}为等差数列； (3)通项法：an为n的一次函数{an}为等差数列； (4)前n项和法：Sn＝An2＋Bn或Sn＝. 2．用定义证明等差数列时，常采用的两个式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d，但它们的意义不同，后者必须加上“n≥2”，否则n＝1时，a0无定义． ．等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d及前n项和公式Sn＝＝na1＋d，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想． ．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法． 等差数列的判断与证明 在数列{an}中，a1＝－3，an＝2an－1＋2n＋3(n≥2，且nN*)． (1)求a2，a3的值； (2)设bn＝(nN*)，证明：{bn}是等差数列． [自主解答]　(1)a1＝－3，an＝2an－1＋2n＋3(n≥2，且nN*)，a2＝2a1＋22＋3＝1，a3＝2a2＋23＋3＝13. (2)证明：对于任意nN*， bn＋1－bn＝－＝[(an＋1－2an)－3]＝[(2n＋1＋3)－3]＝1， 数列{bn}是首项为＝＝0，公差为1的等差数列． ．已知数列{an}的前n项和Sn是n的二次函数，且a1＝－2，a2＝2，S3＝6. (1)求Sn； (2)证明：数列{an}是等差数列． 解：(1)设Sn＝An2＋Bn＋C(A≠0)， 则 解得A＝2，B＝－4，C＝0.故Sn＝2n2－4n. (2)证明：当n＝1时，a1＝S1＝－2. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－4n－[2(n－1)2－4(n－1)]＝4n－6. an＝4n－6(nN*)．an＋1－an＝4， 数列{an}是等差数列. 等差数列的基本运算 已知{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12. (1)求{an}的通项公式； (2)记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求正整数k的值． [自主解答]　(1)设数列{an}的公差为d，由题意知 解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n. (2)由(1)可得Sn＝＝＝n(n＋1)． 因为a1，ak，Sk＋2成等比数列，所以a＝a1Sk＋2. 从而(2k)2＝2(k＋2)(k＋3)，即k2－5k－6＝0， 解得k＝6或k＝－1(舍去)，因此k＝6. (2012·江西联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若－＝1，则公差为________． (2)依题意得S4＝4a1＋d＝4a1＋6d，S3＝3a1＋d＝3a1＋3d，于是有－＝1，由此解得d＝6，即公差为6. 答案：