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圆的对称性 ——垂径定理及其推论 (1)以旧引新，引导探究. 1、请同学们观察下列图形的对称性。 ? o 圆是轴对称图形它有无数条对称轴. 经过圆心的每一条直线都是它的对称轴(直径不是对称轴) 圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心 2圆的轴对称性 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 (用三个字母). ⌒ AMB 圆的相关概念 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧. 直径将圆分成两部分,每一部分都叫做半圆(如弧ABC). 连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB). ●O 经过圆心的弦叫做直径(如直径AC). AB ⌒ 以A,B两点为端点的弧.记作 ,读作“弧AB”. AB ⌒ 小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 (用两个字母). A B C ⌒ M D 在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧 A B ? ? (2)动手操作，观察猜想. ? O ? C D E ┐ ? ? ? ? 操作：CD是以点O为圆心的圆的直径，过直径上任一点E作弦AB⊥CD，将圆0沿CD对折，比较图中的线段和弧，你有什么发现？ 猜想： AE=BE, AD=BD, AC=BC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ A B ? ? ? O ? C D E ┐ ? ? ? ? (3)指导论证，引申结论. 求证： AE=BE, AD=BD,AC=BC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 已知：在⊙O中，CD为直径，AB为弦，且CD⊥AB于点E， 证明：联结AO、BO， ∵AO=BO ∴△AOB为等腰三角形 ∵ CD⊥AB ∴ AE=BE ∵CD是直径， ∴ AD=BD, AC=BC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 题设 结论 平分弦 平分弦所对的两条弧 直径（或过圆心的直线） 垂直于弦 垂径定理三种语言 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. 老师提示: 垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如. ●O A B C D M└ CD⊥AB, 如图∵ CD是直径, ∴AM=BM, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD=BD. 如图在⊙O中，直径CD交弦AB于点E，AE=BE 思考：CD与AB垂直吗？ A B ? ? O C D E ? ? ? AD=BD,AC=BC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 证明：连接AO、BO， ∵AO=BO ∴△AOB为等腰三角形 ∵AE=BE ∴CD⊥AB ∵CD是直径， ∴ 推论：平分弦 的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧。 AD=BD,AC=BC成立吗？ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ? o A B C D （不是直径） ┐ 例1、已知：如图已知⊙O的半径长是5cm，弦AB为6cm，求圆心O到弦AB的距离。 ? o A B E └ 解后指出：从例2看出圆的半径OA，圆心到弦的垂线段OE及半弦长AE构成Rt△AOE.把垂径定理和勾股定理结合起来，解决这类问题就显得很容易了。 圆心到弦的距离叫做弦心距 垂径定理的应用 例2 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点o是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且oE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径. 解:连接oC. ● O C D E F ┗ 赵州石拱桥 1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m). 你是第一个告诉同学们解题方法和结果的吗？ 解：如图，用 表示桥拱， 所在圆的圆心为O，半径为Rm， 经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 相交于点C.根 据垂径定理，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高. 由题设 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 解得 R≈27.9（m）. 答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m. R D 37.4 7.2 练习2： A. 在圆中某弦长为8cm，圆的直径是10cm， 则圆心到弦的距离是( )cm B. 在圆o中弦CD＝24，圆心到弦CD的距离 为5,则圆o的直径是( ) ? o C D E ? C D O E 答案：3 答案：26 练习3： 已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。 求证：AC=BD ? o ? o A B C D ┐E 证明：过O作OE⊥AB于E，则 AE=BE,CE=DE ∴A