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04 线性变换及其矩阵 矩阵论 教学课件
第四讲 线性变换及其矩阵
一、线性变换及其运算
1，定义：T 是V ( F) 到自身的一个映射，满足∀x ∈V 中的任意元，均存在唯一的
n
y ∈V 与之对应，则称 T 为 V 的一个变换，记为
Tx ＝y
称y 为x 在变换 T 下的象，x 为y 的原象。
若变化 T 还满足线性性：T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty) ∀x,y ∈V, k,l∈F
称 T 为线性变换。
⎧⎪⎡ ⎤ξ ⎫⎪
2 ⎪ 1 ⎪
= ⎢ ⎥ ∈
[例 1] 二维实向量空间R ⎨ ξ R ⎬，将其绕原点旋转θ 角的操作就是一
⎪⎢ ⎥ξ i ⎪
2
⎪⎣ ⎦ ⎪
⎩ ⎭
个线性变换。
⎡ ⎤ξ ⎡ ⎤η ⎧⎪η =ξ cosθ+ξ sin θ
2 1 1 ⎪ 1 1 2
[证明] ∀x ∈R ,x =⎢ ⎥ y Tx ⎢ ⎥
= = ⎨
⎢ ⎥ξ ⎢ ⎥η ⎪η ξ sin θ ξ cos
2 2 ⎪2 =−1 + 2 θ
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎩
⎡ ⎤η ⎡ cos θ sin θ⎤⎡ ⎤ξ
1 1 2
⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥∈R
⎢ ⎥η ⎢−sin θ cosθ⎥⎢ ⎥ξ
2 ⎣ ⎦ 2
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
y
η 2
ξ 2
θ
o η 1 ξ 1 x
可见 T 为变换，下面证明其为线性变换.
[例 2] 次数不超过 -1 的全体实多项式 [x]构成实数域上的一个 n 维的线性空
n P
n
d
间，微分算子D = 是P [x]上的一个线性变换。
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