(第16讲)三角函数式的化简与求值 高考数学第二轮复习专题讲座45讲.docVIP

题目 高中数学复习专题讲座三角函数式的化简与求值 高考要求 三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一 通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍 重难点归纳 1 求值问题的基本类型 ①给角求值，②给值求值，③给式求值，④求函数式的最值或值域，⑤化简求值 2 技巧与方法 ①要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式 ②注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用 ③对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法 ④求最值问题，常用配方法、换元法来解决 典型题例示范讲解 例1不查表求sin220°+cos280°+cos20°cos80°的值 命题意图 本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高 知识依托 熟知三角公式并能灵活应用 错解分析 公式不熟，计算易出错 技巧与方法 解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会 解法一 sin220°+cos280°+sin220°cos80° = (1－cos40°)+ (1+cos160°)+ sin20°cos80° =1－cos40°+cos160°+sin20°cos(60°+20°) =1－cos40°+ (cos120°cos40°－sin120°sin40°) +sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°) =1－cos40°－cos40°－sin40°+sin40°－sin220° =1－cos40°－(1－cos40°)= 解法二 设x=sin220°+cos280°+sin20°cos80° y=cos220°+sin280°－cos20°sin80°，则 x+y=1+1－sin60°=， x－y=－cos40°+cos160°+sin100° =－2sin100°sin60°+sin100°=0 ∴x=y=， 即x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°= 例2设关于x的函数y=2cos2x－2acosx－(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=的a值，并对此时的a值求y的最大值 命题意图 本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力 知识依托 二次函数在给定区间上的最值问题 错解分析 考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错 技巧与方法 利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等 解 由y=2(cosx－)2－及cosx∈［－1，1］得 f(a)＝ ∵f(a)=, ∴1－4a=a=［2,+∞ 或　－－2a－1=，解得a=－1， 此时，y=2(cosx+)2+， 当cosx=1时，即x=2kπ，k∈Z，ymax=5 例3已知函数f(x)=2cosxsin(x+)－sin2x+sinxcosx (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值； (3)若当x∈［，］时，f(x)的反函数为f－1(x)，求f-－1(1)的值 命题意图 本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力 知识依托 熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识 错解分析 在求f-－1(1)的值时易走弯路 技巧与方法 等价转化，逆向思维 解 (1)f(x)=2cosxsin(x+)－sin2x+sinxcosx =2cosx(sinxcos+cosxsin)－sin2x+sinxcosx =2sinxcosx+cos2x=2sin(2x+) ∴f(x)的最小正周期T=π (2)当2x+=2kπ－，即x=kπ－ (k∈Z)时，f(x)取得最小值－2 (3)令2sin(2x+)=1，又x∈［］, ∴2x+∈［,］,∴2x+=， 则x=，故f-－1(1)= 例4　已知＜β＜α＜,cos(α－β)=,sin(α+β)=－,求sin2α的值_________ 解法一 ∵＜β＜α＜,∴0＜α－β＜ π＜α+β＜, ∴ ∴sin2α=sin［(α－β)+(α+β)］ =sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β) 解法二 ∵sin(α－β)=,cos(α+β)=－, ∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－ sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－