递推数列问题的解法探讨.docVIP

精品论文 参考文献 递推数列问题的解法探讨 雷永东　陕西省绥德中学　718000 　　摘　要：已知数列{an},a1=a,an+1=pan+q(pne;1,qne;0是常数)，求数列{an}的通项公式an,是高中常见的递推数列问题。这类数列通常可转化为an+1+lambda;=p（an+lambda;），或消去常数转化为二阶递推式an+2-an+1=q（an+1-an），或归纳猜想证明，本文依据几个例题做了分析。 　　关键词：递推数列　转化　探讨 　　例1.已知数列{an}中，a1=1,an+1=2an+1（nge;1），求{an}的通项公式。 　　解析： 　　解法一（待定系数法）：转化为an+1+lambda;=p（an+lambda;）型递推数列。 　　∵an+1=2an+1（nge;1），there4;an+1+1=2（an+1）（nge;1）；又a1+1=2，故数列{an+1}是首项为２、公比为２的等比数列。there4;an+1=2n，即an=2n-1。 　　解法二（差分法形成差数列）：转化为an+2-an+1=p（an+1-an）型递推数列。 　　∵an+1=2an+1(nge;1)　①　 there4;an+2=2an+1+1　② 　　②－①得an+2-an+1=2（an+1-an）(nge;1)，故{an+1-an}是首项为a2-a1=2、公比为２的等比数列，即an+1-an=2times;2n-1=2n，再用累加法得an=2n-1。 　　解法三：用迭代法。 　　an=2an-1+1=2（2an-2+1）+1=22an-2+2+1=…2n-1a1+2n-2+2n-3+…2+1=2n-1。 　　解法四：归纳猜想证明法。 　　a1=1，an+1=2an+1（nge;1）, 　　a2=3，a3=7，a4=15，…猜想：an=2n-1。用数学归纳法证明（证明略）。 　　这类递推数列解决后, 其他类型的递推可以转化并解决。 　　类型一：an+1=qan+dn(p、d为非零常数，qne;1，dne;1)。 　　这类数列可变换成　　=　middot;　＋　，令bn=　，则转化为bn+1=pbn+q`型。 　　例2.设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an+2n（nisin;N＊）。求数列{an}的通项公式。 　　解析：∵an+1=3an+2n，两边同除以2n+1，得　　＝　middot;　+　。令bn=　，则有bn+1=　middot;bn+　。于是，得bn+1+1=　（bn+1），there4;数列{bn+1}是以首项为　+1=　、公比为　的等比数列，故bn+1=　middot;（　）n-1，即bn=　middot;（　）n-1-1，从而an=7middot;3n-2-　middot;2n+1。 　　类型二：an+1=　　 （c、d为非零常数）, 　　若取倒数,得　　=　middot;　+　。令bn=　，从而转化为bn+1=pbn+q`型。 　　例3.已知数列{an}中满足a1=1，an+1= ，求数列的通项an。 　　解：∵数列{an}中，a1=1，an+1=　　 ， 　　there4;　　=　＋3，即　　-　＝3； 　　there4;数列{　}是以　=1、公差为3的等差数列。 　　there4;　=1+（n-1）times;3，即　＝3n-2； 　　there4;an= （nisin;N＋）。 　　类型三：an+1=canp（angt;0，cgt;0，pgt;0，pne;1）。 　　这类数列可取对数得lgan+1=plgan+lgc，从而转化为bn+1=pbn+q`数列。 　　例4.已知数列{an}中满足a1=1，an+1=10an5，求数列{an}的通项an。 　　解：∵a1=1，an+1=10an5，lgan+1=5lgan+1，there4;lgan+1+　=5（lgan+　）。 　　there4;（lgan+　）是以　为首项、5为公比的等比数列。 　　lgan+　=　times;5n-1an=10 。 　　类型四: an+2=pan+1+qan可转化为a`n+1=p`a`n+q`。