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北方交通大学2005年高等代数
北方交通大学2005年硕士研究生入学考试试卷
高等代数
填空题
1．设是素数，则多项式与的最大公因式为 .
2．设3次方程，则以该方程的根的倒数为根的3次方程为 .
3．设阶行列式的值为，若将的每个元素换成，则所得的行列式的值为 .
4．设是3阶矩阵，行列式，则行列式
= .
5．设为阶方阵，分别为它们的伴随矩阵，则分块矩阵的伴随矩阵 .
6．若线性方程组
有解，则常数应满足的条件是 .
7．设线性空间中的线性变换定义为，则在基下的矩阵是 .
8．设是3阶实对称矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则实常数 .
9．设实二次型是正定二次型，则参数应满足的条件
是 .
10设3维欧氏空间中一组基的度量矩阵为
则向量的长度为 .
计算阶行列式
三．设阶方阵
求中所有元素的代数余子式之和.
已知线性方程组
的一个基础解系为，求方程组
的通解.
设二阶矩阵，证明：
若则可相似于对角矩阵；
若同号，则可相似于对角矩阵；
若且，则可相似于对角矩阵.
设为阶方阵，是的最小多项式，是次数大于零的任一多项式，证明方阵可逆的充分必要条件是互素.
设都是正定矩阵，证明：
方程的根全大于零；
方程的所有根读等于1当且仅当
设是数域上一个线性空间，是的一组基，又设
令
求并求的维数和一组基；
求并求的维数和一组基.
设是为欧氏空间中的非零向量，定义变换如下：
证明是线性变换；
设在的一组标准正交基下的坐标为，求在这组基下的矩阵；
证明是对称矩阵；
证明是正交变换的充分必要条件是.
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