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第十三章 数 列 §13－1 数列的概念 * 一、数列的定义 在日常生活中，经常会遇到按某种顺序排列的一列数，例如： 1，2，3，4，5，··· n， ··· .（1） 1，1.4，1.41，1.414， ··· . （3） 4，5，6，7，8，9，10. （4） －1，1，－1，1， ··· . （5） 1，1，1，1， ··· . （6） 定义 按一定次序排列而成的一列数 叫做数列，记为{an}。 数列中的每一个数都叫做数列的一个项，并按照它所在顺序位置，分别叫做第一项a1，第二项a2，…，第n项an，其中a1也经常叫做首项，an叫做通项（或称一般项）。 根据数列的定义知数列是按一定顺序排列的一列数，因此若数列中被排列的数相同，但次序不同，则不是同一数列。 如： 数列（4）4，5，6，7，8，9，10。改为 数列（4’）10，9，8，7，6，5，4。 它们不是同一数列。 又如：数列（5）－1，1，－1，1，···。改为 数列（5’）1，－1，1，－1，···。 则它们也不是同一数列。 数列中的每一个数都对应着一个序号，反过来，每个序号也都对应着一个数。如数列（4） 项 4 5 6 7 8 9 10 序号 1 2 3 4 5 6 7 这说明：数列的项是序号的函数，序号从1开始依次增加时，对应的函数值按次序排出就是数列，这就是数列的实质。 数列的一般形式可以写成： 如数列（2） 可简记为 其中 是数列的第n项，上面的数列又可简记为 如数列（1） 1，2，3，4，5，··· ···可简记为 定义 如果数列{an}的通项an与项数n之间的对应关系能用一个式子来表示，这个式子就叫做数列{an}的通项公式。例如： 如数列（1）的通项公式 如数列（2）的通项公式 如数列（4）的通项公式 注意： （1）不是每一个数列都能写出其通项公式 。 （2）已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分重要。 例1 根据下面数列{an}的通项公式，写出它的前5项： （2）在通项公式中依次取n=1，2，3，4，5，得么数列{an}的前5项为 －1，2， － 3，4， － 5. 解：（1）在通项公式中依次取 n =1，2， 3，4，5得到数列{an}的前5项为， 例2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前n项分别是下列各数： ， ， ， ， （2） （3）7，77，777，7777 （4） ?1，7，?13，19，?25，31 （5） ， ， ， （1） 1, 0, 1, 0, *